Question

Вычислите расстояние от точки p(2,3,-1) до прямой x=t+1; y=t+2; z=4t+13

Answer 1

D=√((t+1-2)²+(t+2-3)²+(4t+13+1)²)=3√(2(t²+6t+11))->min
t_min=-6/2=-3, значит d_min=3√(2·(9-18+11))=6.

Answer 2

Чтобы вычислить расстояние от точки P(2,3,-1) до прямой x=t+1, y=t+2, z=4t+13, можно воспользоваться формулой для расстояния между точкой и прямой в трехмерном пространстве.

Шаг 1: Найдем точку на прямой, ближайшую к точке P. Для этого подставим координаты прямой x=t+1, y=t+2, z=4t+13 в уравнение расстояния. Обозначим эту точку как Q(x', y', z').

Шаг 2: Используя найденные координаты точки Q, найдем вектор от Q до P, обозначим его как вектор PQ. Для этого вычтем координаты точки P из точки Q: PQ = PQ(x'-2, y'-3, z'+1).

Шаг 3: Вычислим длину вектора PQ. Для этого возведем каждую из его координат в квадрат, просуммируем их и извлечем корень квадратный суммы. Обозначим эту длину как d.

Шаг 4: Ответом на задачу будет являться найденная длина d.

Теперь пошагово решим задачу:

Шаг 1:
Подставим координаты прямой x=t+1, y=t+2, z=4t+13 в уравнение расстояния:
d = sqrt((x'-2)^2 + (y'-3)^2 + (z'+1)^2)
= sqrt((t+1-2)^2 + (t+2-3)^2 + (4t+13+1)^2)
= sqrt((t-1)^2 + (t-1)^2 + (4t+14)^2)
= sqrt(2(t-1)^2 + (4t+14)^2)

Шаг 2:
Найдем вектор PQ, вычтя координаты точки P из точки Q:
PQ = PQ(x'-2, y'-3, z'+1)
= PQ((t+1)-2, (t+2)-3, (4t+13)+1)
= PQ(t-1, t-1, 4t+14)

Шаг 3:
Вычислим длину вектора PQ:
d = sqrt((t-1)^2 + (t-1)^2 + (4t+14)^2)

Шаг 4:
Ответом на задачу будет найденная длина d.

Таким образом, расстояние от точки P(2,3,-1) до прямой x=t+1, y=t+2, z=4t+13 выражается формулой d = sqrt((t-1)^2 + (t-1)^2 + (4t+14)^2). В данной формуле t представляет собой параметр и может принимать любые значения. Для конкретного значения t можно рассчитать расстояние от точки P до прямой.