Question

Найдите шестой и n-й члены прогрессии: а) 48; 12; ; б)64/9; -32/3; ; в)-0,001; -0,1; г)-100; 10; ;

Answer 1

n-ый член геометрической прогрессии вычисляется по формуле $b_n=b_1q^{n-1}$, где q - знаменатель прогрессии, вычисленный, например, как отношение второго члена прогрессии к первому: $q= \frac{b_2}{b_1}$.

а)
 $q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{12}{48} = \frac{1}{4} \\\ b_6=b_1q^5=48\cdot ( \frac{1}{4} )^5= \frac{3}{64} \\\ b_n=b_1q^{n-1}=48\cdot ( \frac{1}{4} )^{n-1}= \frac{48}{4^{n-1}}$
б)
$q=\frac{b_2}{b_1}=- \frac{32}{3}: \frac{64}{9}=- \frac{32}{3}\cdot \frac{9}{64} =- \frac{3}{2} \\\ b_6=b_1q^5= \frac{64}{9} \cdot ( -\frac{3}{2} )^5=- \frac{2^6}{3^2} \cdot \frac{3^5}{2^5}=-54 \\\ b_n=b_1q^{n-1}= \frac{64}{9} \cdot ( -\frac{3}{2} )^{n-1}= (-1)^{n-1}\frac{2^6\cdot3^{n-1}}{3^2\cdot2^{n-1}} = (-1)^{n-1}\frac{3^{n-3}}{2^{n-7}}$
в)
$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{-0.1}{-0.001}=100 \\\b_6=b_1q^5=-0.001 \cdot 100^5=-10^{-3} \cdot10^{10}=-10^7 \\\ b_n=b_1q^{n-1}= -0.001 \cdot 100^{n-1}= -10^{-3} \cdot10^{2n-2}=-10^{2n-5}$
г)
$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{10}{-100}=-0.1 \\\ b_6=b_1q^5=-100 \cdot (-0.1)^5=100\cdot10^{-5}=10^{-3} \\\ b_n=b_1q^{n-1}=-100 \cdot (-0.1)^{n-1}=(-1)^{n}\cdot 10^2\cdot10^{1-n}=(-1)^{n}\cdot10^{3-n}$