Question

4x^2-x^4 исследовать и построить график функции.

Answer 1

1. Область определения функции: множество всех действительных чисел

$\mathrm{D(f)=(-\infty;+\infty).}$

2. Чётность и нечётность функции: проверим на четность функции с соотношений: $\mathrm{f(-x)=-f(x)=f(x)}$

$\boldsymbol{f(-x)=4\cdot(-x)^2-(-x)^4=4x^2-x^4=f(x)}$

Итак, f(-x) = f(x) значит заданная функция является четной.

3. Точки пересечения с осями координат.

3.1. точки пересечения с осью Ох. График функции пересекает ось абсциссу при f = 0 значит нужно решить уравнение:

$\boldsymbol{4x^2-x^4=0}\\ \boldsymbol{-x^2(x^2-4)=0}\\ \boldsymbol{x_1=0;}\\ \boldsymbol{x_2=2}\\ \boldsymbol{x_3=-2}$

(0;0), (2;0), (-2;0) - точки.

3.2. точки пересечения с осью Оу. График пересекает ось ординат, когда х=0, т.е. подставляем x=0 в функцию, получим

$\boldsymbol{f(0)=4\cdot0^2-0^4=0}$

(0;0) - точка

4. Функция не является периодичной.

5. Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение $f'(x)=0$

$\boldsymbol{f'(x)=(4x^2-x^4)'=(4x^2)'-(x^4)'=8x-4x^3}\\\boldsymbol{8x-4x^3=0}\\ \boldsymbol{-4x(x^2-2)=0}\\ \boldsymbol{x_1=0}\\ \boldsymbol{x_{2,3}=\pm\sqrt{2}}$

Найдем интервалы возрастание и убывания функции:

______+____(-√2)_____-____(0)________+_____(√2)______-____

Функция возрастает на промежутке $x \in (-\infty;-\sqrt{2})\cup(0;\sqrt{2} )$, а убывает - $x \in (-\sqrt{2};0 )\cup(\sqrt{2} ;+\infty)$

$x=\pm\sqrt{2}$ - локальные максимумы

$x=0$ - локальный минимум.

6. Точки перегиба.

Вторая производная функции: $\boldsymbol{f''(x)=-12x^2+8}$

$\boldsymbol{-12x^2+8=0}\\ \boldsymbol{x_{1,2}=\dfrac{\sqrt{6} }{3}}$

___-____(-√6/3)____+__(√6/3)___-____

Функция вогнутая на промежутке $x \in (-\frac{\sqrt{6} }{3} ;\frac{\sqrt{6} }{3} )$, а выпуклая на промежутке $x \in (-\infty;-\frac{\sqrt{6} }{3} )\cup(\frac{\sqrt{6} }{3} ;+\infty)$

7. Асимптоты

Здесь вертикальных асимптот нет. Найдем теперь горизонтальные асимптоты.

Горизонтальные асимптоты найдём с пределов данной функции при $x\to \pm\infty$

$\displaystyle \boldsymbol{ \lim_{x \to \pm\infty} (-x^4+4x^2)=\pm\infty}$

Предел не существует, следовательно горизонтальной асимптоты нет.

Вертикальной асимптоты нет.