Геометрическая прогрессия Последовательность чисел {an} называется геометрической прогрессией, если отношение последующего члена к предыдущему равно одному и тому же постоянному числу q, называемому знаменателем геометрической прогрессии. Таким образом, для всех членов геометрической прогрессии. Предполагается, что q ≠ 0 и q ≠ 1.
Любой член геометрической прогрессии можно вычислить по формуле:
Сумма первых n членов геометрической прогрессии определяется выражением
Говорят, что бесконечная геометрическая прогрессия сходится, если предел существует и конечен. В противном случае прогрессия расходится.
Пусть представляет собой бесконечный ряд геометрической прогрессии. Данный ряд сходится к, если знаменатель |q| < 1, и расходится, если знаменатель |q| > 1.
Пример 1 Найти сумму первых 8 членов геометрической прогрессии 3, 6, 12, ..
Решение. Здесь a1 = 3 и q = 2. Для n = 8 получаем
Пример 2 Найти сумму ряда .
Решение. Данный ряд является бесконечной геометрической прогрессией со знаменателем q = − 0,37. Следовательно, прогрессия сходится и ее сумма равна
Пример 3 Найти сумму ряда
Решение. Здесь мы имеем дело с конечной геометрической прогрессией, знаменатель которой равен . Поскольку сумма геометрической прогрессии выражается формулой
то получаем следующий результат:
Пример 4 Выразить бесконечную периодическую дробь 0,131313... рациональным числом.
Решение. Запишем периодическую дробь в следующем виде:
Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем, получаем
Пример 5 Показать, что
при условии x > 1.
Решение. Очевидно, что если x > 1, то . Тогда левая часть в заданном выражении представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Используя формулу, левую часть можно записать в виде
что доказывает исходное соотношение.
Пример 6 Решить уравнение
Решение. Запишем левую часть уравнения в виде суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
Тогда уравнение принимает вид
Находим корни квадратного уравнения:
Поскольку |x| < 1, то решением будет .
Пример 7 Известно, что второй член бесконечно убывающей геометрической прогрессии (|q| < 1) равен 21, а сумма равна 112. Найти первый член и знаменатель прогрессии.
Рассмотри две функции у=(m+3)x и y=n-1 это линейные функции, то есть их графики - прямые линии, а решение - это точка пересечения этих двух линий. у=n-1 - это прямая параллельная оси Х, значит чтобы не было решений график у=(m+3)х - должен быть параллельным графику у=n-1 , то есть оси Х Это условие выполняется если m+3=0, и m=-3. в этом случае график ф-ции у=(m+3)х совпадает с осью Х, чтобы у=n-1 не совпадал с осью Х , должно выполняться условие n-1≠0, n≠1 Значит уравнение не имеет корней, если одновременно m=-3 и n≠1
х² - х² + 10х + 25 = х - 2
9х = -27
х = -3
(6-x)^2-16 = x^2-2x
36 - 12х + х² - 16 = х² - 2х
-10х = -20
х = 2