Эта задача решается нахождением определенного и интеграла в пределах от π/6 до 5π/6, для чего в начале находят неопределенный интеграл и используют формулу - определенный интеграл равен разности неопределенных при заданных границах.
Самое очевидное --графическое решение... кубическая парабола --функция монотонно возрастающая, синусоида --вытянута в три раза вдоль оси ОУ и сжата в 8 раз вдоль оси ОХ корни --это точки пересечения графиков... пересечение же возможно только на промежутке для у ∈ [-3; 3], следовательно для х ∈ [-∛3; ∛3] это примерно (-1.44; 1.44), т.е. немного у'же промежутка (-π/2; π/2) функция у=sin(8x) достигает максимума на этом промежутке несколько раз: у ' = 8cos(8x) = 0 ---> 8x = π/2 + πk; x = π/16 + πk/8 -π/2 < x < π/2 -π/2 < π/16 + πk/8 < π/2 -8π < π + 2πk < 8π -8 < 1 + 2k < 8 -9 < 2k < 7 -4.5 < k < 3.5 причем k∈Z, т.е. k={-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3} это количество экстремумов (максимумов и минимумов), пересечение графиков возможно в промежутках между экстремумами... таких промежутков семь)) графическая иллюстрация прилагается))
∫sinx dx = -cosx+c
искомая S=|-cosπ/6+cos5π/6| = | -√3/2 -√3/2 |=√3