Деление на cos x в данном уравнении возможно, потому что соs x подразумевается отличным от нуля, так как написан в знаменателе у tgx. Но как метод решения уравнения (деление на косинус в данном уравнении) не правильный. Так как имеются разные аргументы 2х и х, то надо заменить аргумент 2х на х по формулам sin2x=2·sinx·cosx cos2x=cos²x-sin²x=1-sin²x-sin²x=1-2·sin²x
2·sinx·cosx-(1-2sin²x)=tgx 2·sinx·cosx-1+2sin²x-(sinx/cosx)=0 Теперь умножим все уравнение на cosx, при этом cosx≠0 иначе tgx не существует. 2·sinx·cos²x-cosx+2sin²x·cosx-sinx=0, Разложим на множители, группируем первое и третье слагаемые, второе и четвертое: 2·sinx·cosx(cosx+sinx)-(cosx+sinx)=0, (cosx+sinx)(2sinx·cosx-1)=0 Произведение двух множителей равно нулю, когда хотя бы один из них равен нулю: 1) cosx+sinx=0 - однородное уравнение, делим на cosx≠0 tgx=-1 x=-π/4 + πk, k ∈Z 2) 2·sinx·cosx-1=0 sin2x=1, 2x=π/2 + 2πn, n∈Z x=π/4 +πn , n ∈ Z
ответ. x=-π/4 + πk, x=π/4 +πn , k, n ∈ Z два ответа можно записать как один ответ х=π/4 + πm/2, m∈Z
1) (2-x)(3x+1)(2x-3)≤0 решаем методом интервалов 2-х=0, х=2 3х+1=0, х=-1/3 2х-3=0, х=1,5 Отмечаем точки на числовой прямой и расставляем знаки: при х=0 (2-0)(0+1)(0-3)<0 0∈[-1/3;1,5] над этим промежутком ставим минус,и потом знаки чередуем: + - + - [-1/3][1,5][2] квадратные скобки означают, что точка отмечена заполненным кружком ответ [/1/3; 1,5] U (2;+∞)
2) (-7x²-6x+1)(x-5)≥0 -7х²-6х+1=0 или 7х²+6х-1=0 D=36+28=64=8² x=(-6-8)/14=-1 или х=(-6+8)/14=1/7 х-5=0 , х=5 в нуле знак минус 1·(-5)<0 + - + - [-1][1/7][5] ответ (-∞; -1] U [1/7; 5] 3) (x²-3x+2)(x³-3x²)(4-x²)≤0 Разложим левую часть на множители: (х-2)(х-1)х²(х-3)(2-х)(2+х)≤0 или - (х-2)(х-1)х²(х-3)(х-2)(х+2)≤0 или (х-2)²х²(х-1)(х-3)(х+2)≥0 Так как имеется множитель (х-2)²≥0 при любом х, то при переходе через точку х=2 знак не меняется Так как имеется множитель х² , то при переходе через точку х=0 знак не меняется - + + - - + [-2][0][1][2][3] ответ [-2;1] U [3; +∞)
4) (x²-6x+8)(x²-4)(x²-4x+4)≥0 (x-2)(x-4)(x-2)(x+2)(x-2)²≥0 (x-2)⁴(x-4)(x+2)≥0 В точке х=0 знак минус + - - + [-2][2][4] ответ (-∞;-2] U [4;+∞)
x=17