Вспомним основное тригонометрическое тождество: sin^2 x + cos^2 x = 1 Отсюда: sin^2 = 1 - cos^2 x Подставим это в числитель, а знаменатель перенесём вправо: 2 (1 - cos^2 x) = 3 (1-cos x) Разложим левую часть как разность квадратов: 2 (1 - cos x) (1 + cos x) = 3 (1 - cos x) Тут возникает соблазн сократить на одинаковый множитель, но надо рассмотреть вариант, когда этот множитель нулевой: (1 - cos x) = 0 1 = cos x x = arccos 1 = 0 + 2ПN, где N - 0,1,2... Решением это являться не будет, так как такой х обращает в исходном выражении знаменатель в нуль, а на нуль, как известно, делить нежелательно! Запомним, теперь сократим и продолжим с оставшейся частью: 2(1 + cos x) = 3 1 + cos x = 1,5 cos x = 0,5 x = arccos 0,5 = +-П/3 + 2ПN. Это решение не пересекается с ранее полученными недопустимыми значениями, значит ответ: x = {+-П/3 + 2ПN}
Чтобы решить эту задачу, мы сначала посчитаем общее количество исходов (его нам нужно знать для определения вероятности), затем определим количество благоприятных исходов (когда белый шарик вынимали не менее трех раз), и в конце найдем вероятность благоприятного исхода.
Шаг 1: Найдем общее количество исходов (общее число способов вытащить 7 шариков из ящика). Для этого воспользуемся комбинаторикой и формулой сочетаний. Обозначим "C" как "число сочетаний из n элементов по k" (n учитывает общее количество шариков в ящике, k - количество шариков, которые мы вынимаем).
Используем формулу: C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)
В нашем случае n = 11 (7 белых + 4 черных шариков), k = 7 (мы вынимаем 7 шариков).
C(11, 7) = 11! / (7!(11-7)!) = 11! / (7!4!) = (11*10*9*8) / (4*3*2*1) = 330
Таким образом, общее количество исходов равно 330.
Шаг 2: Найдем количество благоприятных исходов (когда белый шарик вынимали не менее трех раз).
- Количество исходов, когда белый шарик был вынут ровно три раза: C(7, 3) * C(4, 4) = 35 * 1 = 35
- Здесь мы умножаем количество исходов, когда мы выбираем 3 белых шарика из 7, на количество исходов, когда мы выбираем 4 черных шарика из 4. Так как черные шарики остаются в ящике после вытаскивания, это не меняет результат.
- Количество исходов, когда белый шарик был вынут четыре раза: C(7, 4) * C(4, 3) = 35 * 4 = 140
- Здесь мы умножаем количество исходов, когда мы выбираем 4 белых шарика из 7, на количество исходов, когда мы выбираем 3 черных шарика из 4.
- Количество исходов, когда белый шарик был вынут пять раз: C(7, 5) * C(4, 2) = 21 * 6 = 126
- Здесь мы умножаем количество исходов, когда мы выбираем 5 белых шарика из 7, на количество исходов, когда мы выбираем 2 черных шарика из 4.
- Количество исходов, когда белый шарик был вынут шесть раз: C(7, 6) * C(4, 1) = 7 * 4 = 28
- Здесь мы умножаем количество исходов, когда мы выбираем 6 белых шарика из 7, на количество исходов, когда мы выбираем 1 черный шарик из 4.
- Количество исходов, когда белый шарик был вынут семь раз: C(7, 7) * C(4, 0) = 1 * 1 = 1
- Здесь мы умножаем количество исходов, когда мы выбираем 7 белых шарика из 7, на количество исходов, когда мы не выбираем ни одного черного шарика из 4.
Таким образом, количество благоприятных исходов равно: 35 + 140 + 126 + 28 + 1 = 330
Шаг 3: Найдем вероятность благоприятного исхода (вероятность того, что из семи вынутых шариков белый шарик вынимали не менее трех раз).
Вероятность благоприятного исхода = количество благоприятных исходов / общее количество исходов = 330 / 330 = 1
Таким образом, вероятность того, что из семи вынутых шариков белый шарик вынимали не менее трех раз, равна 1 или 100%.
Подведем итог:
Вероятность того, что из семи вынутых шариков белый шарик вынимали не менее трех раз, составляет 1 или 100%. Это означает, что с большой вероятностью, практически всегда, из семи вынутых шариков минимум три будут белыми.
sin^2 x + cos^2 x = 1
Отсюда:
sin^2 = 1 - cos^2 x
Подставим это в числитель, а знаменатель перенесём вправо:
2 (1 - cos^2 x) = 3 (1-cos x)
Разложим левую часть как разность квадратов:
2 (1 - cos x) (1 + cos x) = 3 (1 - cos x)
Тут возникает соблазн сократить на одинаковый множитель, но надо рассмотреть вариант, когда этот множитель нулевой:
(1 - cos x) = 0
1 = cos x
x = arccos 1 = 0 + 2ПN, где N - 0,1,2...
Решением это являться не будет, так как такой х обращает в исходном выражении знаменатель в нуль, а на нуль, как известно, делить нежелательно!
Запомним, теперь сократим и продолжим с оставшейся частью:
2(1 + cos x) = 3
1 + cos x = 1,5
cos x = 0,5
x = arccos 0,5 = +-П/3 + 2ПN.
Это решение не пересекается с ранее полученными недопустимыми значениями, значит ответ:
x = {+-П/3 + 2ПN}