Question

При каких значениях k прямые kx+3y+1=0 и 2x+(k +1)y+2=0 параллельны?

Answer 1

Приводим к виду $y = ax + b$:

$kx+3y+1=0 \Leftrightarrow 3y = -kx - 1 \Leftrightarrow y = \frac{-k}{3}x - \frac{1}{3}$

$2x+(k +1)y+2=0 \Leftrightarrow y = \frac{-2x - 2}{k+1} \Leftrightarrow y = \frac{-2}{k+1}x - \frac{2}{k+1}$

Чтобы прямые были параллельны, необходимо равенство коэффициентов перед x, то есть условие параллельности в нашем случае:

$\frac{-k}{3} = \frac{-2}{k+1}$

Решаем уравнение:

$\frac{k}{3} = \frac{2}{k+1}$

$k(k+1) = 2 \cdot 3$

$k^2 + k - 6 = 0$

$k_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (-6)}}{2} = \left[\begin{array}{l}2 \\ -3\end{array}$

ответ: прямые будут параллельны при $k=2$ или $k=-3$