Левая часть представляет собой сумму неотрицательных слагаемых, эта сумма обращается в ноль тогда и только тогда, когда оба слагаемых суть нули, если хоть одно из них отлично от нуля, то вся сумма (левая часть) отлична от нуля (больше нуля). Таким образом данное уравнение равносильно системе: { (x^2-1)^2 = 0; { (x^2 - 6x -7)^2 = 0; что равносильно { x^2-1 = 0; { x^2 - 6x - 7 = 0; равносильно { x^2=1; {x^2 - 6x - 7 = 0; первое уравнение дает x1=1; или x2=-1; x1 = 1, подставляем во второе уравнение последней системы: 1 - 6 - 7 = 0; <=> -12=0, ложное равенство, поэтому x1=1, не является решением системы. x2 = -1; подставляем во второе уравнение: (-1)^2 - 6*(-1) - 7 = 1+6-7=0, верное равенство, таким образом x=-1 единственное решение системы. ответ. x=(-1).
Если (х,у) - какое-то решение системы, то т.к. х встречается только в квадрате, то (-х, у) - тоже решение, Значит количество решений системы всегда четное, за исключением случая, когда есть решение с х=0. В этом случае y=A, и A=√3 или A=-√3. 1) Если A=√3, то y=x²+√3, (x²+√3)²+x²=3 x⁴+(2√3+1)x²=0 x²(x²+2√3+1)=0 x=0; x²+2√3+1=0 действительных корней не имеет. Итак, в этом случае 1 решение.
2) Если A=-√3, то y=x²-√3, (x²-√3)²+x²=3 x⁴+(-2√3+1)x²=0 x²(x²-2√3+1)=0 x=0; x²=2√3-1>0 - дает еще два решения. Итак, в этом случае 3 решения.
Все это можно понять и из графиков. Первое уравнение задает окружность радиусом √3, а второе - параболу y=x² сдвинутую на А по оси Оу. В силу симметрии графиков относительно оси Оу, понятно что всегда будет четное количество решений (либо не будет вообще). 1 решение или 3 возможны только в случае, когда вершина параболы y=x²+A совпадает с верхней или нижней точкой окружности, т.е. при A=√3 или А=-√3. В первом случае, очевидно одно решение. А во втором не так очевидно, что 3 решения, но это проверяется, как я сделал выше.
