Question

T^3 + 3t^2 - 6t - 8 =0 решить, найти корни

Answer 1

Объяснение:

1) Выделим полный куб и преобразуем: (x+y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³

t³ + 3t² - 6t - 8 = t³ + 3 * t² * 1 + 3 * t * 1² + 1³ - 3t - 1 - 6t - 8 = (t+1)³ - 9t - 9 = (t+1)³ - 9(t+1) = (t+1)((t+1)² - 9) = (t+1)(t+1-3)(t+1+3) = (t+1)(t-2)(t+4)

2) Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а остальные существуют:

(t+1)(t-2)(t+4) = 0

t = -1 или t = 2 или t = -4

ответ: -4; -1; 2

Answer 2

ответ: t = -4; t = -1; t = 2.

Попробуем разложить уравнение на множители, вначале выделив полный квадрат [ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 ] :

$t^3 + 3t^2 - 6t - 8 = (t^3 + 3t^2*1 + 3t*1^2 + 1^3) - 9t - 9 = (t+1)^3 - 9t - 9 = \\= (t+1)^2 - 9(t+1) = (t+1)((t+1)^2 - 9) = (t+1)((t+1)^2-3^2) =\\= (t+1)(t+1-3)(t+1+3) = (t+1)(t-2)(t+4)$

Теперь мы должны решить вот такое уравнение:

$(t+1)(t-2)(t+4)=0$

Итак, произведение нескольких чисел равно нулю только тогда, когда одно из них равно нулю, то есть мы должны решить:

$\left[\begin{array}{ccc}t+1=0\\t-2=0\\t+4=0\end{array}\right\\\\t = -1\\t=2\\t=-4$

Итого: у этого уравнения есть три корня: t = -4; t = -1; t = 2.