Question

Решите уравнение: 2sin2x+√2-1=(√2-1)(sinx-cosx)

Answer 1

2sin(2x) + √2 - 1 = (√2 - 1)(sin x - cos x)
2sin(2x) - 2 + √2 + 1 = (√2 - 1)(sin x - cos x)

Придумал, как решить!
2sin(2x) - 2 = -2(1 - sin(2x)) = -2(sin^2 x - 2sin x*cos x + cos^2 x) =
= -2(sin x - cos x)^2

Подставляем
-2(sin x - cos x)^2 + √2 + 1 = (√2 - 1)(sin x - cos x)
2(sin x - cos x)^2 + (√2 - 1)(sin x - cos x) - (√2 + 1) = 0

Замена sin x - cos x = y
2y^2 + (√2 - 1)y - (√2 + 1) = 0
Решаем квадратное уравнение
D = (√2 - 1)^2 - 4*2(-(√2 + 1)) = 2 - 2√2 + 1 + 8(√2+1)  = 11 + 6√2 =
= 2 + 9 + 2*3√2 = (3 + √2)^2
x1 = (1 - √2 - 3 - √2)/4 = (-2 - 2√2)/4 = -(1 + √2)/2 ~ -1,2 > -√2
x2 = (1 - √2 + 3 + √2)/4 = 4/4 = 1

Обратная замена
y = sin x - cos x = √2*(1/√2*sin x - 1/√2*cos x) =
= √2*(sin x*cos(pi/4) - cos x*sin(pi/4)) = √2*sin(x - pi/4)
Поскольку sin a ∈ [-1; 1], то √2*sin(x - pi/4) ∈ [-√2; √2]
Оба корня попадают в этот промежуток.

1) √2*sin(x - pi/4) = -(1 + √2)/2
sin(x - pi/4) = -(1 + √2)/(2√2) = -(√2 + 2)/4
x1 = pi/4 - arcsin((√2 + 2)/4) + 2pi*k
x2 = 3pi/4 + arcsin((√2 + 2)/4)) + 2pi*k

2) √2*sin(x - pi/4) = 1
sin(x - pi/4) = 1/√2
x3 = pi/4 + pi/4 + 2pi*n = pi/2 + 2pi*n
x4 = pi/4 + 3pi/4 + 2pi*n = pi + 2pi*n