Question

30б.вычислите интеграл от 1 до 2 (3x^2-4x-2/x^2)dx

Answer 1

$\int _1^2(3x^2-4x-\frac{2}{x^2})dx=(3\cdot \frac{x^3}{3}-4\cdot \frac{x^2}{2}-2\cdot \frac{-1}{x})|_1^2=(x^3-2x^2+\frac{2}{x})|_1^2=\\\\=8-8+1-(1-2+2)=0$

Answer 2

Для того чтобы вычислить данный интеграл, мы можем использовать метод разложения на простые дроби. Чтобы применить этот метод, сначала нужно разложить функцию под интегралом на сумму двух дробей.

1. Начнем с деления числителя на знаменатель:
(3x^2 - 4x - 2) / x^2

Мы видим, что степень числителя (2) больше степени знаменателя (1). Поэтому мы делим числитель на знаменатель, используя долгое деление или синтетическое деление. По окончании деления мы получаем:

3x - 7 + (-11 / x^2)

2. Теперь представим полученное выражение в виде суммы двух дробей. Первое слагаемое будет иметь числитель "A" и знаменатель "x^2", а второе слагаемое будет иметь числитель "B" и знаменатель "x^2".

3x - 7 + (-11 / x^2) = A / x^2 + B / x^2

3. Приведем выражение к общему знаменателю и скомбинируем числители:

3x - 7 - (11 / x^2) = (A + B) / x^2

4. Так как выражение должно быть верным для любого значения "x", значит числители должны быть равны между собой:

3x - 7 = A + B

5. Для нахождения чисел "A" и "B" решим систему уравнений:

A + B = -7
3 = A + B

Решая эту систему уравнений, получим:

A = -5
B = -2

Таким образом, разложение функции на простые дроби будет иметь вид:

(3x^2 - 4x - 2) / x^2 = (-5 / x^2) + (-2 / x^2)

6. Интегрируем каждую дробь по отдельности:

∫((-5 / x^2) + (-2 / x^2)) dx = -∫(5 / x^2) dx -∫(2 / x^2) dx

7. Интеграл ∫(1 / x^2) dx можно вычислить следующим образом:

∫(1 / x^2) dx = -1 / x + C, где C - произвольная постоянная

8. Итак, подставляем полученные значения обратно:

∫(3x^2 - 4x - 2) / x^2 dx = (-5 / x^2) - 2 * (-1 / x) + C

= (-5 / x^2) + (2 / x) + C

Таким образом, ответ на данный вопрос будет:

∫(3x^2 - 4x - 2 / x^2) dx = (-5 / x^2) + (2 / x) + C