Question

Решить уравнение 2^sin^2x+2^cos^2x=3

Answer 1

$2^{sin^{2}x } + 2^{cos^{2}x }=3 2^{sin ^{2}x } +2 ^{1-sin ^{2}x } =3$

$2 ^{sin ^{2}x } + \frac{ 2^{1} }{2 ^{sin ^{2}x } }=3$

замена переменных:
$2 ^{sin ^{2}x }=t, t\ \textgreater \ 0$

$t+ \frac{2}{t} =3 t^{2} -3t+2=0 t_{1} =2, t _{2}=1$

обратная замена:

$1. t _{1} =2, 2 ^{sin ^{2} x} =2 2 ^{sin ^{2} x} =2 ^{1} sin ^{2} x=1, sinx=-1,$

$x=- \frac{ \pi }{2} +2 \pi n,$  n∈Z

$sinx=1, x= \frac{ \pi }{2} +2 \pi n,$  n∈Z

$2. t _{2}=1 2 ^{sin ^{2} x} =1 2 ^{sin ^{2}x } =2 ^{0} sin ^{2} x=0$

$x= \pi n,$ n∈Z