Question

На сторонах kl и lm треугольника klm отмечены точки s и t так, что углы lsm и ltk равны, ls=lt, kl=17, lt=11, ms=13. найдите периметр треугольника mqt, где q — точка пересечения прямых kt и ms.

Answer 1

Проведём биссектриссу    $LV$    для    $\angle KLM \ .$

Она пересечёт прямые    $KT$    и    $MS$    в точках    $Q_1$    и    $Q_2 \ .$

Мы пока не доказали, что все они совпадут с точкой    $Q \ ,$
поэтому называемм их точками    $Q_1$    и    $Q_2 \ .$

Треугольники    $\Delta SLQ_1$    и    $TLQ_2$
равны по второму признаку равенства треугольников,

а значит    $SQ_1 = SQ_2 \ ,$    т.е. точки    $Q_1$    и    $Q_2$    совпадают, как мы и преполагали, образуя точку    $Q \ ,$    в которой пересекаются    $KT , MS$    и биссектрисса    $LQ \ .$

Отсюда следует, что    $\angle TQL = \angle SQL \ ,$    а так же    $\angle SQK = \angle TQM \ ,$    как вертикальные, а поэтому    $\angle LQK = \angle LQM$    и тогда    $\Delta LQM = \Delta LQK$     – по второму признаку равенства треугольников.

Т.е.    $KL = LM \ ,$    а     $\Delta KLM$    – равнобедренный.

$TM = LM - LT = KL - LT = 17 - 11 = 6 \ .$

По даказанныи равенствам треугольников:

$QT = QS \ ;$

$MQ + QT = MQ + QS = MS \ ;$

Периметр    $\Delta MQT \: \ \ \ \ \ P = MQ + QT + TM = MS + TM = 13 + 6 \ .$

О т в е т :    $P = 19 \ .$