1) Разрешим наше дифференциальное уравнение относительно производной - уравнение с разделяющимися переменными Воспользуемся определением дифференциала Интегрируя обе части уравнения, получаем - общее решение
Разделяем переменные
интегрируя обе части уравнения, получаем
- общий интеграл
Решение задачи Коши нет, т.к. при х=0 логарифм ln0 не существует
Пример 3. Убедимся, является ли дифференциальное уравнение однородным.
Итак, дифференциальное уравнение является однородным. Исходное уравнение будет уравнением с разделяющимися переменными если сделаем замену , тогда
Подставляем в исходное уравнение
Получили уравнение с разделяющимися переменными
Воспользуемся определением дифференциала
Разделяем переменные
Интегрируя обе части уравнения, получаем
Обратная замена
- общий интеграл
Пример 4. Это дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами также однородное. Воспользуемся методом Эйлера Пусть , тогда будем иметь характеристическое уравнение следующего вида:
Тогда общее решение будет иметь вид:
- общее решение Пример 5. Аналогично с примером 4) Пусть , тогда получаем
А) 3х -2у =8 ⇒ 2у = 3х -8 ⇒ у = 1,5 х -4 В этом уравнении угловой коэффициент к = 1,5. Любое уравнение , в котором к≠ 1,5 будет иметь единственное решение с данным (у = 2х +8; у = -2х +6 и т.д.) б) -5х +4у =3 ⇒ 4у = 3х -8 ⇒ у = 5 х +3 В этом уравнении угловой коэффициент к = 5. Любое уравнение , в котором к≠ 5 будет иметь единственное решение с данным (у = 2х +8; у = -2х +6 и т.д.) в) -3х -7 у =2 ⇒ 7у = -3х - 2 ⇒ у = -3/7 х - 2/7 В этом уравнении угловой коэффициент к = -3/7 Любое уравнение , в котором к≠ -3/7 будет иметь единственное решение с данным (у = 2х +8; у = -2х +6 и т.д.) г)5х + 6у = 9 ⇒ 6у = -5х - 9 ⇒ у = -5/6 х - 9/6 В этом уравнении угловой коэффициент к =-5/6. Любое уравнение , в котором к≠ -5/6 будет иметь единственное решение с данным (у = 2х +8; у = -2х +6 и т.д.)
х>1-0,3. -х<-0,4 х>-63÷(-9)
х>0,7. х<-0,4÷(-1). х<7
х>0,4. ответ:(-∞;7)
ответ:(0,7;+∞). ответ:(0,4;+∞). 6)-15x<25
4)-х<10. 5) -18x>-27. х>
х>-10. х<1,5.
ответ:(-10;+∞). ответ:(-∞;1,5)