Question

Сумма первых трех членов прогрессии равна 91. если к этим числам прибавить соответственно 25, 27 и 1, то получатся три числа, являющиеся последовательными членами некоторой арифметической прогрессии. найдите седьмой член исходной прогрессии, если известно, что он меньше 1000.

Answer 1

Пусть q - знаменатель геометрической прогрессии, d - шаг арифметической прогрессии. $b_n$ - члены геометрической прогрессии, $a_n$ - члены арифметической прогрессии.
По условию:
$b_1 + b_2 + b_3 = 91 \\ \\ b_1 + b_1 q + b_1 q^2 = 91 \\ \\ b_1 (1 + q + q^2) = 91$
Составим члены арифметической прогрессии:
$a_1 = b_1 + 25 \\ \\ a_2 = b_1 q +27 \\ \\ a_3 = b_1 q^2 +1$
Каждый член арифметической прогрессии отличается на d (шаг прогрессии):
$a_2 = a_1 + d; \:\:\:\:\: a_3 = a_2 + d \\ \\ b_1 q +27 = b_1 + 25 + d \\ \\ b_1 q^2 +1 = b_1 q +27 + d \\ \\ \\ b_1 q +2 = b_1 + d \\ \\ b_1 q^2 = b_1 q +26 + d \\ \\ \\ d = b_1 q - b_1 + 2 \\ \\ d = b_1 q^2 - b_1 q - 26 \\ \\ \\ b_1 q^2 - b_1 q - 26 = b_1 q - b_1 + 2 \\ \\ b_1 q^2 - 2b_1 q + b_1 = 28 \\ \\ b_1(q^2 - 2q + 1) = 28$

Получили ещё одно уравнение. Запишем их вместе:
$b_1 (1 + q + q^2) = 91 \\ \\ b_1(q^2 - 2 q + 1) = 28$

Разделим одно на другое почленно:
$b_1 (1 + q + q^2) = 91 \\ \\ b_1(q^2 - 2q + 1) = 28 \\ \\ \frac{1 + q + q^2}{q^2 - 2 q + 1} = \frac{91}{28} \\ \\ 91q^2 -182q +91 = 28 + 28q + 28q^2 \\ \\ 63q^2 - 210q + 63 = 0 \\ \\ 3q^2 - 10q + 3 = 0 \\ \\ q_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{5^2 - 3 * 3} }{3} = \frac{5 \pm 4}{3} \\ \\ q_1 = \frac{1}{3} \:\:\:\:\:\: q_2 = 3$

Найдём первый член геометрической прогрессии:
$b_1 (1 + q + q^2) = 91 \\ \\ \\ 1. \:\:\: b_1 (1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} ) = 91 \\ \\ b_1* \frac{13}{9} = 91 \:\:\:\:\:\: b_1 = 63 \\ \\ \\ 2. \:\:\: b_1 (1 + 3+ 9) = 91 \\ \\ b_1* 13 = 91 \:\:\:\:\:\: b_1 = 7$

Находим 7-й член геометрической прогрессии:
$1. \:\:\: b_7 = b_1 q^6 = 63 * \frac{1}{3^6} = \frac{7}{81} \\ \\ 2. \:\:\: b_7 = b_1 q^6 = 7 * 3^6 = 7 * 729 = 5103 \ \textgreater \ 1000$

Одно решение отпадает, т.к. 7-й член по условию д.б. меньше 1000

ответ: 7/81

Answer 2

Пусть ($b_n$) - геометрическая прогрессия со знаменателем q
Сумма трёх членов
b₁ + b₂ + b₃ = 91   ⇒    b₁ + b₁q + b₁q² = 91

Пусть ($a_n$) - арифметическая прогрессия с разностью  d
a₁ = b₁+25;   a₂ = b₁q + 27;  a₃ = b₁q² + 1
a₁ + a₂ + a₃ = b₁+25 + b₁q + 27 + b₁q² + 1 =
            = b₁ + b₁q + b₁q² + 53 = 91 + 53 =144
Так как в арифметической прогрессии  a₁ = a₂ - d;  a₃ = a₂ + d   ⇒
a₁ + a₂ + a₃ = 144    ⇔  (a₂-d) + a₂ + (a₂+d) = 144   ⇒
3a₂ = 144;     a₂ = 48;      b₁q + 27 = 48  ⇒   b₁q = 21

b₁q = 21
b₁ + b₁q + b₁q² = 91   ⇔   b₁ + 21 + 21q = 91    ⇒   
b₁ = 70 - 21q = 7(10 - 3q)
b₁q = 21   ⇔  7(10 - 3q)*q = 21 ⇔   (10 - 3q)q = 3  ⇔ 10q - 3q² = 3
3q² - 10q + 3 = 0
D/4 = (10/2)² - 3*3 = 16 = 4²
1) q₁ = (10/2 - 4)/3 = 1/3  ⇒    b₁ = 21/q = 21/(1/3) = 63
                                           b₇ = b₁*q⁶ = 63*(1/3)⁶ = 7/81
2) q₂ = (10/2 + 4)/3 = 3    ⇒   b₁=21/q = 21/3 = 7
                                           b₇ = b₁*q⁶ = 7*3⁶ = 5103

Так как по условию  b₇ < 1000, то ответ b₇ = 7/81