Добрый день! Давайте рассмотрим оба задания по очереди.
a) Докажем, что предел последовательности (4n + 1) / (5n) при n стремящемся к бесконечности равен 4/5, используя определение предела последовательности.
Определение предела последовательности гласит, что для любой положительной величины ε существует такое число N, что для всех n > N выполняется неравенство |(4n + 1) / (5n) - 4/5| < ε.
Для начала, выполним некоторые алгебраические преобразования, чтобы привести выражение к более удобному виду:
Теперь, чтобы найти число N, удовлетворяющее условию |(4n + 1) / (5n) - 4/5| < ε, мы можем рассмотреть неравенство 1 / (5n) < ε и решить его относительно n.
1 / (5n) < ε
n > 1 / (5ε)
Получили неравенство, которое должно быть выполнено для всех n > N. Таким образом, выбираем N = 1 / (5ε).
Теперь, если мы возьмем любое значение n > N, то мы можем заметить, что:
n > N = 1 / (5ε)
5n > 1 / ε
1 / (5n) < ε
То есть, неравенство |(4n + 1) / (5n) - 4/5| < ε будет выполнено для любого значения n > N. Это означает, что предел последовательности (4n + 1) / (5n) при n стремящемся к бесконечности равен 4/5.
b) Докажем, что предел последовательности (2n - 5) / (3n + 7) при n стремящемся к бесконечности равен 2/3, снова используя определение предела последовательности.
Также как в предыдущем случае, нам нужно доказать, что для любой положительной величины ε существует такое число N, что для всех n > N выполняется неравенство |(2n - 5) / (3n + 7) - 2/3| < ε.
Выполнив алгебраические преобразования, у нас получится:
Подобно предыдущему случаю, нам нужно решить неравенство:
|-21n^2 - 91n - 133| / (3n + 7) < ε
Но решить его аналитически достаточно сложно. Поэтому воспользуемся свойством арифметических операций пределов последовательностей.
Заметим, что при n стремящемся к бесконечности:
-21n^2 стремится к бесконечности,
-91n стремится к бесконечности,
-133 стремится к -133,
3n стремится к бесконечности,
7 стремится к 7.
Используя свойство арифметических операций пределов последовательностей, когда n стремится к бесконечности, можем записать:
піднесемо до квадрату обидві частини рівняння:
x^2+9-2корінь(x^2+9)(x^2-7)-x^2+7=4
-2корінь(x^2+9)(x^2-7)=-12 поділимо ліву і праву частину рівняння на -2
корінь(x^2+9)(x^2-7)=6
піднесемо ліву і праву частини рівняння до квадрату
(x^2+9)(x^2-7)=36
введемо заміну: х^2=а
(а+9)(а-7)=36
а^2-7a+9a-63=36
a^2+25-99=0
скористаємося формулою D/4=(-b/2)^2-ac
D/4=1+99? коріньD/4=10
x1,2=(-b/2+- коріньD/4)/a, тоді:
a1,2=-1+-10
повернемось до заміни:
х^2=9 x^2=-11
x=+-3 рівняння розв'язків не має