Question

Выражение а) (2+1)(2²+1)(2⁴+³²+1)+1 б) (200+1)(200-2)(200+3)(200-+2007)(200-2008)

Answer 1

а)
Домножим заданное выражение на 1, причем представим 1 как (2-1), тогда можно будет применить несколько раз формулу разности квадратов:
$(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)+1 = \\\ =(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)+1 = \\\ =(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)+1 = \\\ =(2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)+1 = \\\ =(2^8-1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)+1 = \\\ =(2^{16}-1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)+1 = \\\ =(2^{32}-1)(2^{32}+1)+1 =(2^{64}-1)+1=2^{64}$
ответ: $2^{64}$

б)
Заметим, что для каждого множителя (скобки) числа от 1 до 2008 прибавляются к фиксированному числу 200, если они нечетные, и отнимаются от фиксированного числа 200, если они четные. Тогда, в произведении встретится скобка (200-200): так как число 200 четное, то в этой скобке оно будет отниматься от фиксированного числа 200. Следовательно, один из множителей равен 0, а значит и все произведение равно 0.
ответ: 0