Верно ли утверждение: к произведению двух последовательных натуральных чисел всегда можно приписать справа две цифры так, что образовавшееся число будет полным квадратом?
Берем 2 последовательных натуральных числа, перемножаем и дописываем справа 2 каких-то числа: n*(n+1)*100+10*a+b
Раскрываем скобочки:
100*n^2+100n+10*a+b
Разделим на 100 (имеем право, т. к не нарушаем общности, 100- полный квадрат!) : Допустим,возьмем 2 последовательных натуральных числа, перемножаем и дописываем справа 2 каких-то числа: n^2+n+(10*a+b)/100
Теперь, чтобы это был полный квадрат, необходимо, чтобы
Решение Половина пути для второго автомобиля 0,5. Пусть х км/ч – скорость первого автомобилиста, тогда (х + 54) км/ч - скорость второго автомобилиста Время второго автомобиля, за которое он весь путь 0,5 / 36 + 0,5/(x + 54) Время первого автомобиля равно времени второго автомобиля. 1/x = 0,5 / 36 + 0,5/(x + 54) 1/x - 0,5 / 36 - 0,5/(x + 54) = 0 36(x + 54) – 0,5x(x + 54) – 0,5*36x = 0 36x + 1944 – 0,5x² - 27x – 18x = 0 – 0,5x² - 9x + 1944 = 0 I : (-0.5) x² + 18x – 3888 = 0 D = 324 + 4*1*3888 = 15876 = 1262 X₁ = (- 18 – 126)/2 = - 72 не удовлетворяет условию задачи X₂ = (- 18 + 126)/2 = 54 54 км/ч - скорость первого автомобилиста ответ: 54 км/ч
Раз по реке она шла меньше времени при большем расстоянии, значит явно шла по течению. Пусть её собственная скорость V, время пути по реке t, тогда верны следующие соотношения(не забудем перевести минуты в часы): 36 = (V+2)*t, 35 = V * (t+1/20) Раскрываем скобки: 36 = Vt+2t 35=Vt+V/20 Вычитаем из второго уравнения первое: 1 = V/20 - 2t Выражаем скорость: V/20 = 1 + 2t V = 20 + 40 t Подставим это соотношение, например, в первое уравнение: 36=(20+40t+2)t 36 = 40 t^2 + 22 t 40 t^2 + 22 t - 36 = 0 Сокращаем: 20 t ^2 + 11 t - 18 = 0 Решаем квадратное уравнение: D = 11*11 + 4 *20*18 = 121 + 1440 = 1561 = 39,5 (округлённо) t = (-11+-(39,5)) / 40 = {-1,25; 0,7} Время отрицательным быть не может, единственный подходящий результат - 0,7 ч. Подставляем в полученное выражение скорости: V = 20 + 40 t = 20 + 40 * 0,7 = 48 км/ч. Хотя явно не очень сходится, даже со всеми округлениями. Возможно, в вычислениях ошибся, но ход решения примерно такой.
n*(n+1)*100+10*a+b
Раскрываем скобочки:
100*n^2+100n+10*a+b
Разделим на 100 (имеем право, т. к не нарушаем общности, 100- полный квадрат!) :
Допустим,возьмем 2 последовательных натуральных числа, перемножаем и дописываем справа 2 каких-то числа:
n^2+n+(10*a+b)/100
Теперь, чтобы это был полный квадрат, необходимо, чтобы
(10*a+b)/100=1/4
Откуда, очевидно, a=2, b=5.