Question

Решения уравнений .сводящихся к квадратным уравнениям , решить уравнения: 1)(3x-1)^4-20(3x-1)^2+64=0 2)(2x+3)^4-24(2x+3)^2-25=0

Answer 1

$1)$
$(3x-1)^4-20(3x-1)^2+64=0$

Замена: $(3x-1)^2=t,$  $t \geq 0$

$t^2-20t+64=0$

$D_1= (\frac{b}{2})^2-ac=100-64=36$

$t_1= \frac{- \frac{b}{2}+ \sqrt{D_1} }{a} = 10+6=16$

$t_2= \frac{- \frac{b}{2}- \sqrt{D_1} }{a}=10-6=4$

$(3x-1)^2=16$     или     $(3x-1)^2=4$

$(3x-1)^2-4^2=0$     или     $(3x-1)^2-2^2=0$

$(3x-1-4)(3x-1+4)=0$     или     $(3x-1-2)(3x-1+2)=0$

$(3x-5)(3x+3)=0$     или     $(3x-3)(3x+1)=0$

$3x-5=0$  или  $3x+3=0$     или  $3x-3=0$  или  $3x+1=0$

$x=1 \frac{2}{3}$  или  $x=-1$   или  $x=1$  или  $x=- \frac{1}{3}$

ответ: $1 \frac{2}{3} ;$ $-1;$ $1;$ $- \frac{1}{3}$

$2)$
$(2x+3)^4-24(2x+3)^2-25=0$

Замена: $(2x+3)^2=t,$ $t \geq 0$

$t^2-24t-25=0$

$D_1=(-12)^2-1*(-25)=144+25=169$

$t_1= 12+13}=25$

$t_2=12-13=-1$  - не подходит

$(2x+3)^2=25$

$(2x+3)^2-5^2=0$

$(2x+3-5)(2x+3+5)=0$

$(2x-2)(2x+8)=0$

$2x-2=0$     или     $2x+8=0$

$2x=2$      или      $2x=-8$

$x=1$   или   $x=-4$

ответ: $-4;$ $1$