Question

Умоляю докажите, что n^3-n кратно 3 при всех натуральных n

Answer 1

Решение:
Вынесем n за скобки. Получим:
$n(n^2-1)$
А выражение в скобках раскроем как разность квадратов:
$n(n-1)(n+1)$
И теперь возможны три случая:
1) Пусть n = 3k, где k - целое число (иначе говоря, делится на 3). Тогда,
$\frac{3k(3k+1)(3k-1)}{3} = k(3k+1)(3k-1)$
2) Пусть n = 3k + 1, где k - целое число (делится на 3 с остатком 1)
Тогда,
$\frac{(3k+1)(3k+1-1)(3k+1+1)}{3} = \frac{3k(3k+1)(3k+2)}{3} = k(3k+1)(3k+2)$. И это число делится на 3.
3) Пусть n = 3k + 2 (с теми же условиями, что и выше, только число делится на 3 с остатком 2).
Тогда,
$\frac{(3k+2)(3k+2-1)(3k+2+1)}{3} = \frac{3(k+1)(3k+1)(3k+2)}{3} = (k+1)(3k+1)(3k+2)$. И это число тоже делится на 3.

Таким образом, и выражение n^3-n тоже делится на 3 без остатка.