Question

1. найдите точку максимума функции: y=(x-12)^2*(x-3)+4 2. найдите точку минимума функции: y=(x+8)^2*(5x-32)+11 3. найдите наименьшее значение функции: y=3x-x* корень из х+9 на отрезке [1,7]

Answer 1

Пример 1. Найти точку максимума функции $y=(x-12)^2(x-3)+4$

Решение:

1) Вычислим производную функции:
     $y'=((x-12)^2(x-3)+4)'=((x-12)^2)'(x-3)+(x-12)^2(x-3)'=\\ \\ =2(x-12)(x-3)+(x-12)^2=(x-12)(2x-6+x-12)=\\ \\ =(x-12)(3x-18)$
2) Приравниваем производную функции к нулю:
$(x-12)(3x-18)=0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю
$x-12=0\\ x_1=12\\ 3x-18=0\\ 3x=18\\ x_2=6$

___+___(6)___-___(12)____+__
В точке х=6 производная функции меняется знак с (+) на (-), следовательно точка х=6 максимума.

ответ: х=6 - точка максимума

Пример 2. Найти точку минимума функции $y=(x+8)^2(5x-32)+11$

Решение:

1) Найдем производную данной функции
$y'=((x+8)^2(5x-32)+11)'=((x+8)^2)'(5x-32)+(x+8)^2(5x-32)'=\\ \\ =2(x+8)(5x-32)+5(x+8)^2=(x+8)(10x-64+5x+40)=\\ \\ =(x+8)(15x-24)$
2) Приравниваем производную функции к нулю
$(x+8)(15x-24)=0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю
$x+8=0\\ x_1=-8\\ \\ 15x-24=0|:3\\ 5x-8=0\\ \\ x=8/5=1.6$

___+___(-8)___-__(1.6)__+___
В точке х=1,6 знак производная меняется с (-) на (+), следовательно, точка х = 1,6 - т. минимума

ответ: х=1.6 - точка минимума

Пример 3. Найти наименьшее значение функции $y=3x-x \sqrt{x+9}$ на отрезке $[1;7]$

Решение:

1) Вычислим производную функции
$y'=(3x-x \sqrt{x+9} )'=3-((x)'\sqrt{x+9}+x(\sqrt{x+9})')=\\ \\ =3-\sqrt{x+9}- \dfrac{x}{2\sqrt{x+9}}$

2) Приравниваем производную функции к нулю
$3-\sqrt{x+9}- \dfrac{x}{2\sqrt{x+9}} =0$
Пусть $\sqrt{x+9}=t$, причем $t \geq 0$, и$x=t^2-9$ тогда получаем
$3-t- \dfrac{t^2-9}{2t} =0\,\,\, \bigg|\cdot (2t\ne0)\\ \\ \\ 6t-2t^2-t^2+9=0\\ -3t^2+6t+9=0\\ \\ -3(t^2-2t-3)=0\\ t^2-2t-3=0$
По т. Виета:
$t_1=-1\\ t_2=3$
Корень t=-1 не удовлетворяет условию при t≥0

Обратная замена
$\sqrt{x+9}=3\\ x+9=9\\ x=0\notin [1;7]$

3) Найдем наименьшее значение на концах отрезка
$y(1)=3\cdot 1-1\cdot \sqrt{1+9} =3-\sqrt{10} \ \textless \ 0\\ y(7)=3\cdot7-7\cdot\sqrt{7+9} =21-7\cdot4=21-28=-7\,\,\,\,\,-\,\,\,\,\,\,\, \min$

ответ: наименьшее значение y(7)=-7