Question

1-4sin^2x=0. найдите сумму корней, принадлежащих отрезку 0; пи

Answer 1

Сначала просто решим уравнение.

4sin²x = 1

sin² x = 1/4

(1 - cos 2x)/2 = 1/4

1 - cos 2x = 1/2

cos 2x = 1/2

2x = ±arccos 1/2 + 2πn,n∈Z

2x = ±π/3 + 2πn,n∈Z

x = ±π/6 + πn,n∈Z

Расписывая эту серию корней, получаем,

x1 = π/6 + πn,n∈Z

x2 = -π/6 + πn,n∈Z

Теперь надо отыскать корни на заданном промежутке. Впихнём каждую формулу по очереди в данный промежуток и решим полученное двойное неравенство относительно n:

                               0≤π/6 + πn ≤ π

                                 -π/6   ≤ πn ≤ 5π/6

                                             -1/6 ≤n≤ 5/6

Целые значения n из этого интервала - n= 0

n = 0    x = π/6 + π * 0 = π/6 - первый корень из этого промежутка

Точно также проделываем со вторым корнем.

                                        0 ≤-π/6 + πn ≤ π

                                        π/6 ≤ πn ≤ 7π/6

                                                 1/6 ≤ n ≤ 7/6

    На данном интервале единственное целое значение n - это n = 1

n = 1        x = -π/6 + π = 5π/6 - второй и последний корень из данного промежутка

Ну и теперь находим сумму требуемых корней:

π/6 + 5π/6 = 6π/6 = π

Значит, сумма корней данного уравнения из требуемого промедутка равна пи.