Question

Пусть т(х) – сумма всех простых чисел, меньших х. найдите все корни уравнения т(х)=х2(квадрат)/2 ?

Answer 1

Т(х) -целое число

х2(квадрат)/2  что бы было целым х должно быть кратно 2, а единственное четное простое число это 2

соответственно х=2 проверяем

2=4/2 - верно

ответ: х=2

Answer 2

Пусть большее простое число из T(x) равно n.Сравним числа:n^2 и 2T(x),то есть квадрат наибольшего простого числа и удвоенную сумму простых чисел до n:

Очевидно,что все простые числа,кроме 2 нечетные,а значит T(x) меньше суммы двойки и натуральных нечетных чисел от 1 до n(так как не все нечетные числа являются простыми).

Рассмотрим данную сумму,члены которой,кроме двойки образуют арифметическую прогрессию.

$S=\frac{1+n}{2}*\frac{n+1}{2}+2=\frac{n^2+2n+9}{4}$

Сравним 2S и n^2

$\frac{n^2+2n+9}{2}\ \ ?\ \ n^2$

$n^2+2n+9\ \ ?\ \ 2n^2$

$0\ \ ?\ \ n^2-2n-9$

Правая часть больше левой(нуля) при:

$n1+\sqrt{10}$

$n4$

А так как S>T(X) и n^2>2S,то n^2>2T(x)

Значит и x^2>2T(x) при n,указанном выше.

Рассмотрим оставшиеся 2 варианта:

n=2 n=3

$n=2$

$2=\frac{x^2}{2}$

$x=2$

$n=3$

$2+3=\frac{x^2}{2}$

$x=\sqrt{10}$

ответ:$x_1=2;x_2=\sqrt{10}$