Question

Боковые стороны ави сд трапеции абсд равны соответственно 28 и 35 а основание вс равно 7 .биссектриса угла адс проходит через середину стороны ав. найдите площадь трапеции

Answer 1

Дано: АВCD - трапеции, АВ и CD - боковые стороны трапеции
          АВ =28, CD = 35, ВС = 7, DM - биссектриса ∠ADC проходящая через середину АВ.

Найти: S - ?

Решение.

Проведем через точку М линию MN ║ AD, т.к. АМ=МВ по условию задачи, то  MN - средняя линия.

DM - биссектриса, то ∠ADM = ∠MDC, а ∠NMD = ∠ADM как накрест лежащие при параллельных прямых (MN ║ AD), отсюда следует, что ∠NMD = ∠NDM  следовательно ΔMND - равнобедренный. (смотри рисунок ниже)
Тогда
MN = ND = CD / 2 = 35 /2 = 17,5

С другой стороны средняя линия в трапеции равна

$MN = \frac{BC + AD}{2} = \frac{7+AD}{2} \\ \\17,5 * 2 = 7+AD \\ \\ AD =28$

Проведем в прямоугольном треугольнике ΔMND прямую NO - высоту и продлим эту прямую до точки К лежащей на прямой AD.
ΔNOD = ΔKOD  по стороне (OD) и двум углам и двум прилежащим к ней углам, следовательно MNDK ромб, у котрого
MK = MN = ND = KD = 17,5
тогда
AK = AD - KD = 28 - 17,5 = 10,5
Если в ΔAMK    MK² = AM² + AK²  , то ΔAMK - прямоуольный
17,5² = 14² + 10,5²
306,25 = 306,25   следовательно ∠MAK = 90° , а трапеция ABCD прямоугольная
Тогда
Высота равна h = AB = 28 

Найдем площадь трапеции

$S = \frac{BC + AD}{2} * AB = S = \frac{7 + 28}{2} * 28 = 490$  кв.ед.

ответ: S = 490 кв.ед.