Под множеством математики понимают соединение каких-либо
объектов в одно целое. Создатель теории множеств немецкий математик
Георг Кантор (1845-1918) определил множество как «объединение в одно
целое объектов, хорошо различаемых нашей интуицией или нашей мыслью».
Он же сформулировал это короче: «множество – это многое, мыслимое нами
как единое». На самом деле ни одна из этих фраз не является определением в
строгом математическом понимании. Понятие множества вообще не
определяется, это одно из первичных понятий математики. Его можно
пояснить, приводя более или менее близкие по смыслу слова: коллекция,
класс, совокупность, ансамбль, собрание, или примеры: экипаж корабля –
множество людей, стая – множество птиц, созвездие – множество звезд.
Множества, рассматриваемые в математике, состоят из математических
объектов (чисел, функций, точек, линий и т.д.). Объекты, из которых состоит
множество, называют его элементами. Важно отметить, что в множестве все
элементы отличаются друг от друга, одинаковых элементов быть не может.
Тот факт, что элемент принадлежит множеству , обозначают так:
, а если не принадлежит , то пишут .
Множества бывают конечные и бесконечные. Конечное множество
может быть задано перечислением его элементов, при этом список элементов
заключается в фигурные скобки, например:
{1, 2, 4, 8, 16};
;
{красный, желтый, зеленый}.
Элементы могут перечисляться в любом порядке: и
– одно и то же множество.
Число элементов в конечном множестве называется его мощностью.
Мощность множества обозначается .
Иногда и бесконечные множества задаются в форме перечисления
элементов с использованием многоточия, например:
;
;
.
При этом предполагается, что читающий подобную запись знает, как
должен быть продолжен написанный ряд (или его следует предупредить об
этом).
Примеры бесконечных множеств:
множество всех натуральных чисел;
множество натуральных чисел с добавленным
элементом 0;
множество всех целых чисел;
– множество всех рациональных чисел;
множество всех вещественных чисел.
Пустое множество обозначается знаком , оно не содержит ни одного
элемента: . Иногда полезно считать, что существует некое
универсальное множество (универс, универсум), содержащие все элементы,
представляющие интерес в данных обстоятельствах. Например, изучая
свойства целых чисел, мы можем выбрать в качестве универса множество ,
а занимаясь геометрией на плоскости – множество всех точек плоскости.
Обычно универс обозначают буквой
U .
Часто множество задают указанием свойства , выделяющего
элементы этого множества среди всех элементов универса . Тот факт, что
элемент имеет свойство записывают так: . Множество всех
элементов из , имеющих свойство , представляется в форме:
или и или просто , если ясно, о каком универсе
идет речь. Примеры:
четно};
и
1.2. Подмножества
Множество называется подмножеством множества , если каждый
элемент из принадлежит . Символически это записывается так: .
Это можно прочитать как “ включено в ”. Отметим некоторые свойства
отношения включения:
для любого множества .
для любого множества .
Если и , то .
Если и , то .
Элемент множества сам может быть множеством. Например,
множество состоит из 5 элементов.
Если элементами множества являются подмножества множества ,
то говорят, что есть семейство подмножеств множества . Приведенное
выше множество есть семейство подмножеств множества
Семейство всех подмножеств множества обозначается через
.
Если, например, , то
.
Теорема 1.1 (о числе подмножеств). Если – конечное множество,
то
.
Доказательство. Пусть Доказательство проводим индукцией
по . При утверждение верно, так как
, а единственным
подмножеством пустого множества является оно само. При возьмем
какой-нибудь элемент и обозначим через множество всех элементов
множества , отличных от . Тогда и по предположению
индукции
. Каждое подмножество множества либо содержит,
либо не содержит элемент . Подмножества, не содержащие , являются
подмножествами множества , таких имеется
. Всякое подмножество,
содержащее , получается добавлением элемента к некоторому
подмножеству множества . Поэтому таких подмножеств тоже
. Всего,
следовательно,
.
Для представления подмножеств конечного множества часто
используют следующий . Пусть – конечное множество, элементы
которого пронумерованы числами 1, 2, …, n: .
Подмножество можно задать последовательностью нулей и единиц:
, где =
ес
Объяснение:
298²-1<298²