Question

Прямая l заданная уравнением у = ах (а > 0), делит квадрат оавс (о — начало координат, а(0; 4), с(4; 0)) на две фигуры. задайте следующие функции f в зависимости от значения а: а) f(a) — площадь фигуры, содержащей вершину а; б) f(a) — площадь фигуры, содержащей вершину с; в) f(a) — отношение, в котором прямая l делит площадь квадрата (считая от фигуры, содержащей точку а).

Answer 1

Прежде все покажем квадрат, а также прямую заданную функцией $y = ax, a \ \textgreater \ 0$ на одной координатной плоскости (смотрите первый рисунок). Отметим, что площадь фигуры, содержащей точку $A$, — это площадь фигуры под точкой $A$ до нашей прямой. В свою очередь площадь фигуры, содержащей точку $C$, — это площадь фигуры над точкой $C$ и до нашей прямой. Перейдем к решению задачи.
==========
а) Необходимо найти зависимость площади фигуры, содержащей точку $A$, от величины $a$.
Прежде всего, покажем, что следует рассмотреть несколько случаев получаемых при отсечении от квадрата прямой фигур: может получиться как треугольник (смотрите рисунок 2), так и трапеция (смотрите рисунок 3).
Рассмотрим оба случая отдельно.
СЛУЧАЙ 1 (треугольник)
Имеем треугольник $\triangle OAD$ (смотрите рисунок 2). Очевидно, что размеры сторон треугольника меняются вместе с величиной $a$, а значит от величины $a$ зависит и площадь треугольника. Как же найти эту площадь? Из рисунка 2 видно, что при любом значении $a \geq 1$ (при $a \ \textless \ 1$ эта фигура уже не треугольник, а трапеция) треугольник остается прямоугольным, поскольку $\angle A = 90^{\circ}$, отсюда следует, что площадь треугольника можно найти как полупроизведение катетов: $s_{\triangle OAD} = \frac{OA \cdot AD}{2}$. Необходимо выразить эту площадь через величину $a$, то есть узнать, как катеты $OA$ и $AD$ зависят от $a$. Поразмышляем над этим:
При любом значении $a \geq 1$ катет $OA = 4$ (из условия точка $O$ имеет координату $y = 0$, а точка $A$ координату $y = 4$, отсюда $OA = 4$). $OA$ никак не зависит от величины $a$. Вы можете в этом убедиться, «покрутив» прямую, заданную функцией $y = ax$, но не забывайте, что $a \ \textgreater \ 0$, а также то, что если мы рассматриваем случай с треугольником, то $a \geq 1$.
Теперь подумаем, как от величины $a$ зависит катет $AD$. Это не очень просто, но я постараюсь показать эту зависимость. Посмотрите на рисунок 4. Нас интересует сторона квадрата $AB$. Координата $y$ этой прямой $=4$. С другой стороны, эту прямую пересекает другая прямая, заданная функцией $y = ax$. Раз эти прямые пересекаются, значит их координаты $y$ равны. Я пометил где $x$, а где $y$ на рисунке. Так совпало, что координата $x$ и есть искомый нами катет. Прямая задается функцией $y = ax$. Нас интересует тот самый $x$, что является катетом треугольника. То есть тот $x$, который получается при $y = 4$. Запишем это:
$y = ax \\ 4 = ax \\ x = \frac{4}{a}$
Мы нашли зависимость катета $AD$ от величины $a$.
Напомню формулу площади:
$s_{\triangle OAD} = \frac{OA \cdot AD}{2}$
Где $OA = 4$, $AD =\frac{4}{a}$. Найдем теперь зависимость площади треугольника от $a$:
$s_{\triangle OAD} = \frac{OA \cdot AD}{2} = \frac{4 \cdot \frac{4}{a}}{2} = \frac{8}{a}$
Отлично, зависимость найдена. Но это только при $a \geq 1$. А что будет в случае, если $0 \ \textless \ a \ \textless \ 1$? Подумаем.
СЛУЧАЙ 2 (трапеция)
Как мы уже отметили, при  $0 \ \textless \ a \ \textless \ 1$ точкой $A$ ограничена трапеция $OABE$ (смотрите рисунок 3). Как найти площадь трапеции? Площадь трапеции — произведение полусуммы оснований на высоту. В нашем случае имеем:
$s_{OABE} = \frac{OA + BE}{2} \cdot AB$
Сразу отметим какие стороны трапеции зависят от $a, (0\ \textless \ a \ \textless \ 1)$. Основание $OA$ и высота $AB$ от $a$ не зависят. Зависит только меньшее основание $BE$. Найдем эту зависимость (она куда проще, чем в случае с треугольником). Смотрите рисунок 5. Как видно из рисунка, $OA = 4$, $AB = 4$. Подумаем, какова зависимость малого основания трапеции $BE$ от величины $a$. Видим, что $BC = BE + EC = 4$
Отсюда: $BE = BC - EC = 4 - EC$
Остается найти $EC$. Тут начинается та же история с пересечением двух прямых. Причем $EC = y$, а на этот раз $x=4$. Получаем:
$y = ax \\ y = 4a \\ y = EC \\ EC = 4a$
Вспоминаем где нам нужно было $EC$  $BE = 4 - EC = 4 - 4a$.
Теперь же найдем площадь трапеции:
$s_{OABE} = \frac{OA + BE}{2} \cdot AB = \frac{4 + 4 - 4a}{2} \cdot 4 = \frac{4(2 - a)}{2} \cdot 4 = 16 - 8a$
======
Итак, мы решили только первую часть задания. Что же выходит? Площадь фигуры, содержащей вершину $A$, зависит от величины $a$, причем по-разному (два случая). Запишем это в виде системы:
$S_{A} = \left \{ {{\frac{8}{a}, (a \geq 1)} \atop {16 - 8a, (0 \ \textless \ a \ \textless \ 1)}} \right.$