Question

Cosx(2cosx + tgx)=1 (2sin^2x-sin2x-2cos2x)/под корнем 1-x^2=0 . 20 б

Answer 1

$\cos x(2\cos x+tg x)=1$
ОДЗ $\cos x\ne 0$ отсюда $x \ne \frac{\pi}{2}+ \pi n,n \in Z$

Раскроем скобки

$2\cos^2x+\sin x=1\\ \\ 2(1-\sin^2x)-(1-\sin x)=0\\ \\ 2(1-\sin x)(1+\sin x)-(1-\sin x)=0\\ \\ (1-\sin x)(2+2\sin x-1)=0\\ \\ (1-\sin x)(2\sin x+1)=0\\ \\ \left[\begin{array}{ccc}1-\sin x=0\\ 2\sin x+1=0\end{array}\right\Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}\sin x=1\\ \sin x=-0.5\end{array}\right\Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}x_1=\frac{\pi}{2}+2 \pi k,k \in Z\\ x_2=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+ \pi n,n \in Z\end{array}\right$

Первый корень не удовлетворяет ОДЗ

ответ: x=(-1)ⁿ⁺¹ ·п/6 + пn, где n - целые числа

$\dfrac{2\sin^2x-\sin2x-2\cos2x}{\sqrt{1-x^2}}=0$

ОДЗ: $\displaystyle \left \{ {{1-x^2 \geq 0} \atop {1-x^2\ne 0}} \right. \Rightarrow\,\,\, 1-x^2\ \textgreater \ 0\,\,\, \Rightarrow\,\,\, |x|\ \textless \ 1\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\, \boxed{-1\ \textless \ x\ \textless \ 1}$
Дробь обращается в ноль, тогда и только тогда, когда числитель равен нулю
$2\sin^2x-\sin2x-2\cos2x=0$
$2\sin^2x-2\sin x\cos x-2(\cos^2x-\sin^2 x)=0\\ 2\sin^2x-2\sin x\cos x-2\cos^2x+2\sin^2x=0\\ 4\sin^2x-2\sin x\cos x-2\cos^2x=0|:(\cos^2x\ne0)\\ 4tg^2x-2tgx-2=0|:2\\ 2tg^2x-tgx-1=0$
Пусть tg x = t, тогда имеем квадратное уравнение вида:
$2t^2-t-1=0\\ D=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot2\cdot(-1)=1+8=9\\ \sqrt{D}=3\\ t_1= \frac{-b+ \sqrt{D} }{2a}= \frac{1+3}{2\cdot2} =1 ;\\ t_2= \frac{-b- \sqrt{D} }{2a}= \frac{1-3}{2\cdot2}=-0.5$

Обратная замена

$\left[\begin{array}{ccc}tgx=1\\ tgx=-0.5\end{array}\right\Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}x_1= \frac{\pi}{4}+ \pi n,n \in Z\\ x_2=-arctg0.5+ \pi n,n \in Z \end{array}\right$

Отберем корни из ОДЗ:

Для корня $x= \frac{\pi}{4}+ \pi n,n \in Z$
Если $n=0$, то $x= \frac{\pi}{4}\in (-1;1)$

Для корня $x=-arctg0.5+ \pi n,n \in Z$
Если $n=0$, то $x=-arctg0.5\in (-1;1)$

ответ: x = п/4, x = -arctg 0.5