Question

1. решите уравнение с смены переменной: (х²-2х)² + 3(х²-2х) - 4 = 0 2. найдите сумму корней уравнения (наверно, за т. виета): х(х-3)(х-2)(х-1)=24

Answer 1

1.
$(x^2-2x)^2 + 3(x^2-2x) - 4 = 0$
Замена: $x^2-2x=y$
Решаем уравнение относительно у:
$y^2 + 3y- 4 = 0 \\\ D=3^2-4\cdot1\cdot(-4)=9+16=25 \\\ y_1= \frac{-3-5}{2} =-4 \\\ y_2= \frac{-3+5}{2} =1$
Возвращаемся к переменной х. Получили совокупность уравнений:
$\left[\begin{array}{l} x^2-2x=-4 \\ x^2-2x=1 \end{array}$
Решаем первое уравнение:
$x^2-2x=-4 \\\ x^2-2x+4=0 \\\ D_1=(-1)^2-1\cdot4=1-4\ \textless \ 0 \\\ \oslash$
Решаем второе уравнение:
$x^2-2x=1 \\\ x^2-2x-1=0 \\\ D_1=(-1)^2-1\cdot(-1)=1+1=2 \\\ x=1\pm \sqrt{2}$
В ответ идут корни двух уравнений, фактически это будут корни второго уравнения, так как первое не имеет корней.
ответ: $1\pm \sqrt{2}$

2.
$x(x-3)(x-2)(x-1)=24$
Перемножим первую и вторую, а также третью и четвертую скобки:
$(x^2-3x)(x^2-3x+2)=24$
Замена:$x^2-3x=y$
Решаем уравнение относительно у:
$y(y+2)=24 \\\ y^2+2y-24=0 \\\ D_1=1^2-1\cdot(-24)=1+24=25 \\\ y_1=-1-5=-6 \\\ y_2=-1+5=4$
Возвращаемся к переменой х. Имеем совокупности:
$\left[\begin{array}{l} x^2-3x=-6 \\ x^2-3x=4 \end{array}$
Решаем первое уравнение:
$x^2-3x=-6 \\\ x^2-3x+6=0 \\\ D=(-3)^2-4\cdot1\cdot6=9-24\ \textless \ 0 \\\ \oslash$
Решаем второе уравнение:
$x^2-3x=4 \\\ x^2-3x-4=0$
По теореме Виета: сумма двух чисел равна 3, а их произведение равно -4. Значит, эти числа -1 и 4.
ответ: -1; 4