Хорошо, давайте разберемся вместе. У нас есть уравнение 5x² - 10/5x² = -1/x.
Шаг 1: Приведение уравнения к общему знаменателю:
Для начала, умножим обе части уравнения на x * 5x², чтобы избавиться от знаменателей.
5x² * (5x²) - 10/5x² * (5x²) = -1/x * (x * 5x²)
После упрощения мы получим:
25x⁴ - 2(5x²) = -5x³
Шаг 2: Сведение подобных членов:
Перенесем все члены в левую часть уравнения:
25x⁴ - 10x² + 5x³ = 0
Шаг 3: Факторизация уравнения:
Факторизуем общий множитель из каждого члена:
x²(25x² - 10) + 5x³ = 0
Шаг 4: Упрощение уравнения:
Обратите внимание, что 5x³ можно записать как 5 * x² * x:
x²(25x² - 10) + 5x² * x = 0
Шаг 6: Нахождение корней:
Так как произведение равно нулю, то один из множителей должен быть равен нулю. Итак, у нас есть два случая:
Первый случай: x = 0
Таким образом, x = 0 является первым корнем уравнения.
Второй случай: 5x² + 3 = 0
Вычитаем 3 из обеих сторон уравнения:
5x² = -3
Делим обе стороны на 5:
x² = -3/5
Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон:
x = ±√(-3/5)
Заметим, что значение под корнем отрицательное, поэтому это комплексные корни и будут представлены в виде ±i * √(3/5).
Таким образом, у нас есть три корня уравнения: x = 0, x = i * √(3/5) и x = -i * √(3/5).
Шаг 7: Нахождение суммы всех корней:
Сумма всех корней будет равна:
0 + i * √(3/5) + (-i * √(3/5))
i * √(3/5) и -i * √(3/5) являются сопряженными комплексными числами и их сумма равна 0.
Таким образом, сумма всех корней уравнения будет равна 0.
Складываем уравнения системы, получаем