Question

)1.исследуйте функцию f(x)=–1/3x^3+4x+3 и постройте ее график. 2.число 12 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы произведение куба одного из них на удвоенное другое слагаемое было наибольшим. 3.используя результаты 1, определите число корней уравнения f(x)=m, где m–действительное число

Answer 1

F(x)=–1/3x^3+4x+32, f(x)=–1/2x^2+5x+8

Answer 2

1. Для исследования функции f(x) = -1/3x^3 + 4x + 3 и построения ее графика, мы начнем с определения основных характеристик функции.

- Найдем точку пересечения с осью ординат (y-осью):
Зная, что x = 0, мы можем подставить это значение в уравнение функции:
f(0) = -1/3(0)^3 + 4(0) + 3
f(0) = 0 + 0 + 3
f(0) = 3
Таким образом, точка пересечения с осью ординат - (0, 3).

- Найдем точку, где график функции пересекает ось абсцисс (x-ось):
Нам нужно найти значения x, при которых f(x) = 0. Для этого решим уравнение:
-1/3x^3 + 4x + 3 = 0
Однако, данное уравнение сложно решить аналитически. Мы можем использовать численные методы, такие как метод половинного деления или метод Ньютона, чтобы найти корни уравнения или значения, близкие к корням.

- Определим поведение функции в окрестности точки пересечения с осью абсцисс:
Мы можем применить тест на знаки, деля уравнение на (х - корень) и анализируя знаки интервалов между корнями.

- Определим наклон графика функции:
Рассмотрим производную функции f'(x):
f'(x) = (-1/3)(3x^2) + 4
f'(x) = -x^2 + 4
Для определения, где функция возрастает или убывает, приравняем производную к нулю:
-x^2 + 4 = 0
x^2 = 4
x = ±2
Таким образом, функция изменяет свой наклон в точках (-2, f(-2)) и (2, f(2)).

- Определим выпуклость графика функции:
Рассмотрим вторую производную функции f''(x):
f''(x) = -2x
Решим уравнение f''(x) = 0 для определения точек поворота (точки, где меняется выпуклость):
-2x = 0
x = 0
Таким образом, функция меняет свою выпуклость в точке (0, f(0)).

Исходя из этих характеристик функции, мы можем построить ее график, отметив найденные точки и используя информацию о наклоне и выпуклости для настройки кривизны графика.

2. Чтобы представить число 12 в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы произведение куба одного из них на удвоенное другое слагаемое было наибольшим, мы можем использовать метод дифференциального исчисления.

Пусть первое слагаемое равно x, а второе слагаемое равно 12 - x. Тогда произведение будет:
P(x) = x^3 * 2(12 - x)

Для нахождения максимума произведения, рассмотрим производную от P(x) и приравняем ее к нулю:
P'(x) = 3x^2 * 2(12 - x) - x^3 * 2
0 = 6x^2(12 - x) - 2x^3
0 = 6x^2 * 12 - 6x^3 - 2x^3
12x^2 = 8x^3
x^2(12 - 8x) = 0
x = 0 или 12 - 8x = 0
x = 0 или 8x = 12
x = 0 или x = 12/8
x = 0 или x = 3/2

Таким образом, имеются два возможных значения x: 0 и 3/2. Подставим их обратно в P(x), чтобы найти соответствующие значения второго слагаемого:

- При x = 0:
P(0) = (0)^3 * 2(12 - 0) = 0

- При x = 3/2:
P(3/2) = (3/2)^3 * 2(12 - 3/2)
P(3/2) = (27/8) * (2(21/2))
P(3/2) = (27/8) * (42/2)
P(3/2) = (27/8) * 21
P(3/2) = 567/16

Таким образом, мы получаем два возможных набора слагаемых: (0, 12) и (3/2, 9/2). Однако, произведение куба одного слагаемого на удвоенное другое слагаемое будет наибольшим при значениях (3/2, 9/2), где P(x) = 567/16.

3. Используя результаты исследования функции f(x)=–1/3x^3+4x+3, мы можем определить число корней уравнения f(x) = m, где m - действительное число.

- Если m лежит вне диапазона значений функции, то уравнение не имеет корней, так как f(x) никогда не принимает значений m.
- Если m лежит внутри диапазона значений функции, то уравнение имеет два или три корня, так как f(x) пересекает горизонтальную линию y = m.
- Если m совпадает с одним из значений функции, то уравнение имеет один или два корня, так как f(x) касается горизонтальной линии y = m.

Для более точного определения числа корней уравнения, следует использовать график функции. Мы можем найти значения x, при которых f(x) = m путем пересечения графика функции f(x) с горизонтальной линией y = m. Количество пересечений даст нам количество корней уравнения f(x) = m.