Question

Найдите точку минимума функции y=(1–2x)cosx+2sinx+7 принадлежащую промежутку (0; π/2)

Answer 1

Находим производную:
y'= (1-2x)'cosx+(1-2x)sin'x+7'=y'= -2cosx-(1-2x)sinx+2cosx=(2x-1)sinx
y'=(2x-1)sinx, запишем уравнение (2x-1)sinx=0, (x-1/2)sinx=0
построим интервалы знакопостоянства на промежутке (0; π/2)
0__-__1/2__+__π/2
значит при x∈(0;1/2] y(x) убывает, при x∈[1/2;π/2) y(x) возрастает
значит на промежутке (0;π/2) минимум функции достигается в точке
x=1/2, y=(1-2*1/2)cos(1/2)+2sin(1/2)+7=2sin(1/2)+7
ответ: x=1/2, y=2sin(1/2)+7≈7,96 

Answer 2

Производная функции:
$y'=(1-2x)'\cos x+(1-2x)\cdot (\cos x)'+(2\sin x)'+(7)'=\\ \\ =-2\cos x-\sin x(1-2x)+2\cos x=-\sin x(1-2x)$
Приравниваем ее к нулю:
$y'=0;\,\,\, (2x-1)\sin x=0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
$2x-1=0\\ x=0.5$

$\sin x=0\\ \\ x=\arcsin0+\pi n,n \in \mathbb{Z}\\ x= \pi n,n \in \mathbb{Z}$
Для всех $n \in \mathbb{Z}$, все корни не будут принадлежать заданному отрезку.

___-___(0,5)___+_____

В точке $x=0.5$ функция имеет локальный минимум.
$y(0.5)=2\sin(0.5)+7= 0.95+7\approx7.95$

$(0.5;7.95)\,\,\, -$ относительный минимум