2. Зная производную функции f(x), мы можем найти функцию F(x), которая является первообразной для f(x).
Для этого найдем функцию, производная которой равна (1/8) * (1 - 2х) / √(х - х^2).
Чтобы решить эту задачу, мы используем метод интегрирования - интеграл. Проинтегрируем данную функцию f'(x):
F(x) = ∫[(1/8) * (1 - 2х) / √(х - х^2)] dx.
3. Теперь найдем первообразную F(x). Для этого используем замену переменной.
Пусть х - х^2 = t^2. Тогда производная dx равна 2t dt.
Таким образом, общий вид первообразных для функции f(x) = 2cos(x) - 1/sin^2(x) равен F(x) = 2cos(x) + cot(x) + C_1 + C_2 = 2cos(x) + cot(x) + C, где C - произвольная постоянная.
Надеюсь, эти подробные решения помогут вам лучше понять и запомнить методы нахождения первообразных для данных функций. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их.
а) Найдите общий вид первообразных для функции f(x) = 1/4√(х - х^2).
Для того чтобы найти первообразную данной функции, мы должны найти такую функцию F(x), производная которой равна f(x).
1. Начнем с нахождения производной данной функции. Используем правило дифференцирования корня:
f'(x) = (1/4) * (1/2) * (х - х^2)^(-1/2) * (1 - 2х) = (1/8) * (1 - 2х) / √(х - х^2)
2. Зная производную функции f(x), мы можем найти функцию F(x), которая является первообразной для f(x).
Для этого найдем функцию, производная которой равна (1/8) * (1 - 2х) / √(х - х^2).
Чтобы решить эту задачу, мы используем метод интегрирования - интеграл. Проинтегрируем данную функцию f'(x):
F(x) = ∫[(1/8) * (1 - 2х) / √(х - х^2)] dx.
3. Теперь найдем первообразную F(x). Для этого используем замену переменной.
Пусть х - х^2 = t^2. Тогда производная dx равна 2t dt.
4. Заменим переменные в интеграле:
F(x) = ∫[ (1/8) * (1 - 2х) / t ] * 2t dt
= ∫[ (1/4) * (1 - 2х) ] dt
= (1/4) * ∫[1 - 2х] dt
= (1/4) * (t - 2хt) + C, где C - произвольная постоянная.
5. Восстановим переменные t и х:
F(x) = (1/4) * (√(x - x^2) - 2 * √(x - x^2) * √(x - x^2)) + C
= (1/4) * (√(x - x^2) - 2 * (x - x^2)) + C
= (1/4) * (√(x - x^2) - 2x + 2x^2) + C.
Таким образом, общий вид первообразной для функции f(x) = 1/4√(х - х^2) равен (1/4) * (√(x - x^2) - 2x + 2x^2) + C, где C - произвольная постоянная.
б) Найдите общий вид первообразных для функции f(x) = 2cos(x) - 1/sin^2(x).
1. Найдем производную данной функции, используя известные правила дифференцирования:
f'(x) = -2sin(x) - (d/dx) (sin^(-2)(x))
= -2sin(x) + 2(sin^(-3)(x)) * cos(x)
= -2sin(x) + 2cos(x) / sin^2(x).
2. Найдем функцию F(x), которая является первообразной для функции f(x).
F(x) = ∫[-2sin(x) + 2cos(x) / sin^2(x)] dx.
3. Разделим данную функцию на два слагаемых и проинтегрируем каждое слагаемое отдельно.
F(x) = ∫[-2sin(x)] dx + ∫[2cos(x) / sin^2(x)] dx.
4. Найдем интеграл от первого слагаемого:
∫[-2sin(x)] dx = -2∫sin(x) dx = -2(-cos(x)) + C_1= 2cos(x) + C_1, где C_1 - произвольная постоянная.
5. Найдем интеграл от второго слагаемого:
∫[2cos(x) / sin^2(x)] dx.
Для решения этого интеграла заменим cos(x) / sin^2(x) на (d/dx) (cot(x)), используя известное тождество производных.
∫[2cos(x) / sin^2(x)] dx = ∫[(d/dx) (cot(x))] dx
= cot(x) + C_2, где C_2 - произвольная постоянная.
Таким образом, общий вид первообразных для функции f(x) = 2cos(x) - 1/sin^2(x) равен F(x) = 2cos(x) + cot(x) + C_1 + C_2 = 2cos(x) + cot(x) + C, где C - произвольная постоянная.
Надеюсь, эти подробные решения помогут вам лучше понять и запомнить методы нахождения первообразных для данных функций. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их.