Question

Объясните как можно яснее . из круглого бревна вырезают с прямоугольным сечением наибольшей площади. найдите размеры сечения , если радиус сечения бревна равен 20см.

Answer 1

Радиус окружности, описанной около прямоугольника со сторонами a и b.
$r= \frac{ \sqrt{a^2+b^2} }{2}$
или (2r)²=a²+b²
у нас r=20
40²=a²+b²
1600=a²+b²
b²=1600-a²
$b= \sqrt{1600-a^2}$
площадь сечения балки
$S=ab=a\sqrt{1600-a^2}=\sqrt{1600a^2-a^4}=(1600a^2-a^4)^{1/2}$
надо найти такое а, при котором S максимальна. То есть надо найти максимум S
$S'= \frac{1}{2} (1600a^2-a^4)^{-1/2}(3200a-4a^3)= \frac{3200a-4a^3}{2 \sqrt{1600a^2-a^4} }=\frac{1600a-2a^3}{\sqrt{1600a^2-a^4} } = \\ =\frac{1600-2a^2}{\sqrt{1600-a^2} }=0$
1600-2a²=0
2a²=1600
a²=800
a=√800=20√2
$b= \sqrt{1600-(20 \sqrt{2} )^2}= \sqrt{1600-800} = \sqrt{800} =20 \sqrt{2}$
балка должна быть квадратная, со стороной 20√2, тогда она будет иметь максимальную площадь сечения