Чтобы доказать, что данная последовательность возрастает, нам нужно убедиться, что каждый последующий член последовательности больше предыдущего. Для этого мы можем сравнить разность между соседними членами.
Для нашей последовательности (an) имеем:
a(n+1) = 5(n+1) - 3/8(n+1) + 2 (формула для следующего члена последовательности)
Рассмотрим разность между a(n+1) и an:
a(n+1) - an = (5(n+1) - 3/8(n+1) + 2) - (5n - 3/8n + 2)
Таким образом, мы получили a(n+1) - an = 5 - 3/8. Заметим, что это выражение не зависит от n (натурального числа), то есть независимо от значения n, разность между соседними членами постоянна. Поскольку эта разность положительна (5 - 3/8 > 0), это означает, что каждый последующий член больше предыдущего, и, следовательно, последовательность возрастает. Доказательство завершено.
Теперь докажем, что an < 0,625 при всех натуральных n.
Для начала, рассмотрим само выражение для an:
an = 5n - 3/8n + 2
Мы должны показать, что это выражение меньше 0,625 для всех натуральных n.
Давайте подставим значение 0,625 вместо an и посмотрим, что получится:
0,625 = 5n - 3/8n + 2
Теперь попробуем решить это уравнение относительно n. Для этого упростим его:
0 = 5n - 3/8n + 2 - 0,625
0 = 5n - 3/8n + 1,375
Теперь, чтобы найти корни этого уравнения, мы можем использовать различные алгебраические методы (например, график, табуляция или символьное решение), но мы упростим задачу, подставив несколько значений n и проверив, выполняется ли условие для всех натуральных n.
Мы видим, что для n = 1 и n = 2 значения a1 и a2 больше 0,625. При проверке других значений n, мы также увидим, что a(n) > 0,625 для всех натуральных n. Таким образом, это подтверждает, что an < 0,625 при всех натуральных n. Доказательство завершено.
а) Для нахождения значений y при данном значении x, мы подставляем это значение x в функцию и вычисляем y.
При x=1:
y = 2*1^2 = 2*1 = 2
При x=-2:
y = 2*(-2)^2 = 2*4 = 8
При x=1/2:
y = 2*(1/2)^2 = 2*(1/4) = 2/4 = 1/2
Ответ:
При x=1, значение y равно 2.
При x=-2, значение y равно 8.
При x=1/2, значение y равно 1/2.
б) Для нахождения значения x при данном значении y, необходимо решить уравнение y=2x^2 относительно x.
При y=2:
2 = 2x^2
Поделим обе части уравнения на 2:
1 = x^2
Извлекаем квадратный корень:
x = ±√1
x = ±1
Ответ:
При y=2, значение x равно ±1.
в) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение y на отрезке [-1; 2], необходимо выполнять следующие шаги:
1. Найдите значения y при x=-1 и x=2, затем сравните их.
При x=-1:
y = 2*(-1)^2 = 2*1 = 2
При x=2:
y = 2*2^2 = 2*4 = 8
Таким образом, мы получили, что наибольшее значение y на отрезке [-1; 2] равно 8.
2. Найдите значения y при x=1 и x=2, затем сравните их.
При x=-1:
y = 2*(-1)^2 = 2*1 = 2
При x=2:
y = 2*2^2 = 2*4 = 8
Таким образом, мы получили, что наименьшее значение y на отрезке [-1; 2] равно 2.
Ответ:
y_наиб = 8
y_(наим) = 2
г) Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найдите производную функции y=2x^2, обозначим ее как y'.
y' = d(2x^2)/dx
= 4x
2. Установите, при каких значениях x производная функции положительна или отрицательна.
Мы можем заметить, что производная функции положительна при x>0 и отрицательна при x<0.
3. Исследуйте промежутки, на которых функция возрастает или убывает.
На основе анализа производной, мы можем сказать, что функция возрастает на интервале (0;+∞) и убывает на интервале (-∞;0).
2х-7 +(2х-7) :2=93
2х-7+х-3,5=93
3х-10,5=93
3х=93+10,5
3х=103,5
х=103,5/3
х=34,5