Дан треугольник с вершинами A(-4; 0), B(4:0), C(0; 2).
Так как точки даны на осях, то легко определяем длины сторон его.
АВ = 4-(-4) = 8.
АС = ВС = √(4² + 2²) = √(16 + 4) = √20 = 2√5.
Определяем радиус описанной окружности:
R = (abc)/(4S).
Площадь треугольника S = (1/2)*AB*H = (1/2)*8*2 = 8 кв.ед.
Тогда R = (2√5*8*2√5)/(4*8) = 5.
Теперь можно разложить вектор DC по векторам DA и DB, построением параллелограмма.
Проводим диагональ FG.
Из подобия треугольников DOB и DHG находим:
DG = (3/5)DB, DF = (3/5)DA.
Но так как DA = DB, то DG = DF.
ответ: DC = (3/5)(DA + DB).
Обозначим cлагаемые за Х,У,Z
(X+Y+Z)/3>=1
Согласно неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом достаточно доказать :
ХУZ>=1
Вернемся к исходным обозначениям
8abc>=(a+b)(b+c)(a+c)
Снова согласно неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом видим
a+b>=2sqrt(ab) b+c>=2sqrt(сb) (a+c)>=2sqrt(ac)
поэтому можим заменить сомножители справа на произведение
2sqrt(ab)*2sqrt(aс)*2sqrt(сb)=8abc, что и доказывает неравенство.
Равенство достигается только при а=с=b
