Найдите все решения уравнения cos 2x + sinx = cos2x, принадлежащие отрезку [0; 2π].

Question

Алгебра: Найдите все решения уравнения cos 2x + sinx = cos2x, принадлежащие отрезку [0; 2π].

лулы · Accepted Answer

Решение:
tg^2x-3=0, (tgx-√3)(tgx+√3)=0.на отрезке [0;2π].
tgx=√3, отсюда x=π/3+πn,n∈z или tgx=-√3, отсюда x=-π/3+πn,n∈z.
Отберем корни ,принадлежащие заданному отрезку.
1) x=π/3+πn,n∈z. Чтобы найти целые n ,решим неравенство
0≤π/3+πn≤2π, -π/3≤πn≤2π-π/3, отсюда -1/3≤n≤5/3, целые n=0,n=1.
подставим значения n в первое уравнение получим x1=π/3, x2=π+π/3=4π/3.
2)x=-π/3+πn, n∈z. Аналогично решая неравенство 0≤-π/3+πn≤2π,
получаем π/3≤πn≤7π/3, или 1/3≤n≤2+1/3, целые n=1, n=2.
подставляя найденные значения n во второе уравнение получаем
x3=π-π/3=2π/3, x4=2π-π/3=5π/3.
ответ: π/3 ,2π/3, 4π/3, 5π/3.

MOGZ ответил