Question

Существует ли такой полином p(x), что имеет отрицательный коэффициент, но все коэффициенты полиномов р^2(х),p^3((x) являются положительными?

Answer 1

Да, существует, например
$x^2\cdot\left[2\left(x+\dfrac1x\right)^2+3\left(x+\dfrac1x\right)-5\right]$ (а если точнее, тот полином, который получится, если раскрыть скобки)
Легко проверить, что P² и P³ содержат только положительные коэффициенты (при этом проверять можно только чуть больше половины коэффициентов - многочлен симметричный).

Остается показать, что этого достаточно, чтобы любая степень Pⁿ, n ≥ 2 имела только положительные коэффициенты. Это верно, т.к.:
а) понятно, что если P, Q - многочлены с положительными коэффициентами, то и PQ - многочлен с положительными коэффициентами (следует из правила умножения многочленов)
б) Pⁿ разлагается в произведение P², P³ (можно доказать, например, по индукции: (база) для n = 2, 3 уже всё проверено, (переход) пусть для всех степеней 2, 3, ..., n (n ≥ 3) верно. Тогда верно и для n + 1, т.к. Pⁿ⁺¹ = P² Pⁿ⁻¹, а P², Pⁿ⁻¹ - с положительными коэффициентами по предположению индукции)