Question

Найти все значения а ,для которых неравенство ( а2 -1 ) х2 + 2 (а -1) х + 2 > 0 верно для любого x (- r

Answer 1

(а²-1)х² + 2(а -1)х+2 > 0,   перед нами неравенство не выше второй степени.
нужно рассмотреть 2 случая:
1) Если данное неравенство квадратное (графиком квадратной функции является парабола), значит должно выполнятся два условия, чтобы неравенство было верно для любого х∈R.
-Ветви параболы должны быть направлены вверх ( а²-1>0 )
-парабола должна находится выше оси х (D<0)

$\left \{ {{a ^{2} -1\ \textgreater \ 0} \atop {D\ \textless \ 0}} \right. \ \left \{ {{(a-1)(a+1)\ \textgreater \ 0} \atop {(2(a-1)) ^{2} -4*2(a ^{2} -1)\ \textless \ 0}} \right. \ \left \{ {{(a-1)(a+1)\ \textgreater \ 0} \atop {4(a-1)(a-1-2(a+1))\ \textless \ 0}} \right. \\ \left \{ {{(a-1)(a+1)\ \textgreater \ 0} \atop {4(a-1)(a-1-2a-2)\ \textless \ 0}} \right. \ \left \{ {{(a-1)(a+1)\ \textgreater \ 0} \atop {4(a-1)(-a-3)\ \textless \ 0}\ |:(-4)} \right. \ \left \{ {{(a-1)(a+1)\ \textgreater \ 0} \atop {(a-1)(a+3)\ \textgreater \ 0}} \right. \\ \\ \left \{ {{x\ \textless \ -1,\ x\ \textgreater \ 1} \atop {x\ \textless \ -3, \ x\ \textgreater \ 1}} \right.$
x∈(-∞;-3) U (1;+∞)

2 случай) если данное неравенство линейное, то есть а²-1=0, 
(а-1)(а+1)=0
а=1 или а=-1
подставляем 1 в неравенство:
(1²-1)х² + 2(1 -1)х+2 > 0
2>0 - это верное неравенство, которое не зависит от х, значит а=1 входит в ответ.

подставляем -1:
((-1)²-1)х² + 2((-1)-1)х+2 > 0
-4х+2>0
-4x>-2
x<0.5 - это неравенство зависит от х, то есть верно только при некоторых значениях х, значит а=-1, не входит в ответ
ОТВЕТ:x∈(-∞;-3) U [1;+∞)