Разобьём квадрат со стороной 5 см на 25 квадратов со стороной 1 см. Будем рассматривать их как контейнеры. Точка попадает в контейнер, если она лежит либо на его сторонах, либо во внутренней области. Тогда, по принципу Дирихле, хотя бы в одном из контейнеров окажется две точки. [Некоторые точки могут попасть сразу в четыре контейнера (если такая точка упадёт на вершину квадрата, которая не лежит на стороне исходного квадрата), но для нас важно, что любая точка с необходимостью попадает хотя бы в один.] Итак, в одном из контейнеров содержится две точки. Вспомним, что наш контейнер не что иное, как квадрат со стороной в 1 см. Покажем, что расстояние между двумя точками квадрата со стороной в 1 см не превышает √2. Рассмотрим квадрат ABCD (рис.1) со стороной равной 1 см и две произвольные точки, которые лежат на квадрате.
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. глава 5. решение треугольников 5.1. прямоугольный треугольник аксиомы 1.4 и 2.1 позволяли приписывать отрезкам и углам числа, равные их мерам, то есть измерять отрезки и углы. до сих пор не было связи между величинами углов и длинами отрезков. с введением треугольников появляется возможность связать величины градусных мер углов треугольника и длин его сторон. рассмотрим соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. 1 рисунок 5.1.1. прямоугольный треугольник. косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. пусть угол (bac) – искомый острый угол. так, например, для угла bac (рис. 5.1.1) теорема 5.1. косинус угла зависит только от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треугольника. доказательство пусть abc и a1b1c1 – два прямоугольных треугольника с одним и тем же углом при вершинах a и a1, равным α . построим треугольник ab2c2, равный треугольнику a1b1c1, как показано на рис. 5.1.2. это возможно по аксиоме 4.1. так как углы a и a1 равны, то b2 лежит на прямой ab. прямые bc и b2c2 перпендикулярны прямой ac, и по следствию 3.1 они параллельны. по теореме 4.13 2 рисунок 5.1.2. к теореме 5.1. но по построению ac2 = a1c1; ab2 = a1b1, следовательно, что и требовалось доказать. теорема 5.2. теорема пифагора. в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. модель 5.2. доказательство теоремы пифагора. на рисунке 5.1.3 изображен прямоугольный треугольник. bc и ac – его катеты, ab – гипотенуза. по теореме bc2 + ac2 = ab2. доказательство пусть abc – данный прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине c. 3 рисунок 5.1.3. к доказательству теоремы пифагора. проведем высоту cd из вершины c. по определению из треугольника acd и из треугольника abc. по теореме 5.1 и, следовательно, . аналогично из δ cdb, из δ acb, и отсюда ab · bd = bc2. складывая полученные равенства и, замечая, что ad + bd = ab, получаем ac2 + bc2 = ab · ad + ab · bd = ab (ad + bd) = ab2. теорема доказана. в прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы. косинус любого острого угла меньше единицы. пусть [bc] – перпендикуляр, опущенный из точки b на прямую a, и a – любая точка этой прямой, отличная от c. отрезок ab называется наклонной, проведенной из точки b к прямой a. точка c называется основанием наклонной. отрезок ac называется проекцией наклонной. с теоремы пифагора можно показать, что если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонные, то любая наклонная больше перпендикуляра, равные наклонные имеют равные проекции, из двух наклонных больше та, у которой проекция больше. синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. по определению тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему. для угла (bac) прямоугольного треугольника, изображенного на рис. 5.1.1, имеем так же как и косинус, синус угла и тангенс угла зависят только от величины угла. 4 рисунок 5.1.4. из данных определений получаем следующие соотношения между углами и сторонами прямоугольного треугольника: если α – острый угол прямоугольного треугольника, то катет, противолежащий углу α , равен произведению гипотенузы на sin α; катет, прилежащий к углу α , равен произведению гипотенузы на cos α; катет, противолежащий углу α , равен произведению второго катета на tg α.
(4-9b)*(1/2-3b+1/2+3b)+86=
=(4-9b)*1+86=4-9b+86
4-9*4,25+86=4-38,25+86=
=90-38,25=51,75