x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) < 0
Решением этого неравенства является промежуток (1, 2)
Разложим на множители левую часть второго неравенства:
ax^2 - (3a + 1)x + 3 = (ax^2 - x) - (3ax - 3) = x(ax - 1) - 3(ax - 1) = (x - 3)(ax - 1) = a(x - 3)(x - 1/a)
Возможны 5 вариантов.
1) a > 1/3. Тогда решение неравенства – промежуток (1/a, 3). Нужно, чтобы промежуток (1, 2) полностью содержался в нём, так будет, если 1/a < 1. Объединяем с условием a > 1/3 и получаем часть ответа: a > 1.
2) a = 1/3. У второго неравенства нет решений.
3) 0 < a < 1/3. Решение неравенства – промежуток (3, 1/a); такой промежуток никогда не содержит (1, 2).
4) a = 0. Второе неравенство превращается в 3 - x < 0, x > 3. Не подходит.
5) a < 0. Решение второго неравенства – промежуток (1/a, 3), при этом 1/a < 0. Подходит.
ответ. 
-5≤3x+1≤5
-5-1≤3x≤5-1
-6≤3x≤4
-6/2≤x≤4/3
-2≤x≤1 1/3
-2*8≤8x≤1 1/3*8
-16≤8x≤10 2/3
-16+7≤8x+7≤10 2/3+7
-9≤8x+7≤17 2/3
Целые:-9;-8;-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10
ответ 20