Question

Зачем нужен корень, если степень можно представить в виде дроби?

Answer 1

Во-первых, в дробную степень можно возводить только неотрицательные числа, поэтому формула:
$\sqrt[n]{a^{m} } =a ^{ \frac{m}{n} }$
справедлива только тогда, когда а≥0 и при этом n∈{2;3;4;5;...}
Во-вторых, существует огромное количество примеров, ответы на которые зависят от написания числа: в виде корня n-ой степени или в виде дробной степени. 
Вот простой пример: решим 2 неравенства
$1) 8 ^{\frac{1}{x} }\ \textgreater \ 2 \\ 2) \sqrt[x]{8} \ \textgreater \ 2$
решением первого неравенства:
$8 ^{\frac{1}{x} }\ \textgreater \ 2 \\ (2 ^{3} ) ^{\frac{1}{3} }\ \textgreater \ 2 \\ 2 ^{ \frac{3}{x} } \ \textgreater \ 2^1 \\ \frac{3}{x} \ \textgreater \ 1 \\ \\ \frac{3}{x} -1\ \textgreater \ 0 \\ \\ \frac{3-x}{x} \ \textgreater \ 0$
решаем методом интервалов и получаем:
х∈(0;3)
для второго неравенства появляется ОДЗ:
если есть корень n-ой степени, то это самое число n может принимать ТОЛЬКО НАТУРАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ, КРОМЕ ЕДИНИЦЫ, так как корень 1-ой степени не существует.
то есть для нашего уравнения:
х∈{2;3;4;5;...}
$\sqrt[x]{8} \ \textgreater \ 2 \\ (\sqrt[x]{8}) ^{x} \ \textgreater \ 2^x \\ 8\ \textgreater \ 2^x \\ 2 ^{3} \ \textgreater \ 2^x \\ 3\ \textgreater \ x \\ x\ \textless \ 3$
c учетом ОДЗ решением будет являться только число 2
ОТВ: х=2