Question

Какие из ниже высказываний являются общими , а какие -высказываниями о существовании? определите истинность высказываний. для ложных высказываний постройте отрицания и докажите истинность отрицаний: а) ∀ a ∈ q: a³²*a⁴³=a⁷⁵ б)ε а ∈ q, a≠0: a³²*a⁴³=2a⁷⁵ в)∀ a ∈ q: a³²*a⁴³= a³²+a⁴³ г) ∀ n ∈ n: 28ⁿ=7ⁿ+4ⁿ д)∀ n ∈ n: 28ⁿ=7ⁿ*4ⁿ

Answer 1

А) ∀ a ∈ Q: a³²*a⁴³=a⁷⁵ - то есть для всех рациональных a верно a³²*a⁴³=a⁷⁵ 
a³² * a⁴³ = a³²⁺⁴³ = a⁷⁵. Следовательно данное высказывание является общим и истинным.
б) ∃ а ∈ Q, a≠0: a³²*a⁴³=2a⁷⁵  - это значит, что существует хотя бы одно рациональное число a, которое удовлетворяет условию: a³²*a⁴³=2a⁷⁵  
Если a = 0, то 0³² * 0⁴³=2*0⁷⁵   ⇔ 0 = 0. Вывод: высказывание является истинным. Это высказывание о существовании.
в)∀ a ∈ Q: a³²*a⁴³= a³²+a⁴³ - для всех рациональных a верно следующее равенство. Так как a³²*a⁴³ > a³²+a⁴³ (на множестве (-∞;0)∪(0;+∞) - значит высказывание ложно(оно может быть верно лишь в случае, когда a = 0.) Это общее высказывание.
г) ∀ n ∈ N: 28ⁿ=7ⁿ+4ⁿ - для всех натуральных n верно следующее. Высказывание неверно, потому что 28ⁿ > 7ⁿ+4ⁿ (при n∈R). Данное утверждение - общее высказывание.
д) ∀ n ∈ N: 28ⁿ=7ⁿ*4ⁿ -  при всех натуральных n равенство справедливо. 28ⁿ = 7ⁿ * 4ⁿ ⇔ 28ⁿ = 28ⁿ  - означает, что высказывание общее и верное.