Question

Решить тригонометрические уравнения:

Answer 1

$1)\quad cosx-\sqrt3sinx=2sin3x\\\\2\cdot (\frac{1}{2}cosx- \frac{\sqrt3}{2}sinx)=2sin3x\\\\2\cdot (sin\frac{\pi}{6}\cdot cosx-cos\frac{\pi}{6}\cdot sinx)=2sin3x\\\\2\cdot sin(\frac{\pi}{6}-x)-2sin3x=0\\\\2\cdot (sin(\frac{\pi}{6}-x)-sin3x)=0\\\\2\cdot 2\cdot sin(\frac{\pi}{12}-2x)\cdot cos(\frac{\pi}{12}+x)=0\\\\a)\; \; sin( \frac{\pi}{12}-2x)=0\; ,\; \frac{\pi}{12}-2x=\pi n,\; n\in Z\\\\2x=\frac{\pi}{12}-\pi n\; \; \to \; \; 2x=\frac{\pi}{12}+\pi n,\; n\in Z\\\\x=\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{2},\; n\in Z$

$b)\; \; cos(\frac{\pi}{12}+x)=0\; ,\; \; \frac{\pi}{12}+x=\pi m,\; m\in Z\\\\x=-\frac{\pi}{12}+\pi m,\; m\in Z\\\\2)\quad 6sin^2x-3sinx\cdot cosx-5cos^2x=2\\\\6sin^2x-3sinx\cdot cosx-5cos^2x=2(sin^2x+cos^2x)|:cos^2x\ne 0\\\\4tg^2x-3tgx-7=0\\\\(tgx)_1 =\frac{3-11}{8} =-1\; ,\; \; (tgx)_2= \frac{3+11}{8} = \frac{7}{4} =1,75\\\\x_1=arctg(-1)+\pi n=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in Z\\\\x_2=arctg\, 1,75+\pi m,\; m\in Z$

$3)\quad \sqrt{sinx}\, (4-5cosx-2sin^2x)=0\; ,\; \; ODZ:\; sinx \geq 0\\\\a)\; \; sinx=0\; ,\; \; x=\pi n,\; n\in Z\\\\b)\; \; 4-5cosx-2sin^2x=0\\\\4-5cosx-2(1-cos^2x)=0\\\\2cos^2x-5cosx+2=0\\\\(cosx)_1= \frac{5-3}{4} =\frac{1}{2}\; ,\\\\ (cosx)_2= \frac{5+3}{4} =2\; \; \; net\; reshenij,\; t.k.\; \; |cosx| \leq 1\\\\x_1=\pm arccos\frac{1}{2}+2\pi m,\; m\in Z\\\\x_1=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi m,\; m\in Z$

Учитывая ОДЗ (sinx≥0 ,  x∈ 1 и 2 четвертям), выбираем ответ:
  х=π/3+2πm, m∈Z .