1) 2sin(3x-П/4)+1=0 2sin(3x-П/4)=-1 sin(3x-П/4)=-1/2 можно обозначить 3х-П/4 за y, тогда: sin y=-1/2 y=-П/6+2Пk или y=-5П/6+2Пk производим обратную замену 3х-П/4=-П/6+2Пk 3х-П/4=-5П/6+2Пk
Надо доказать, что всегда найдется хотя бы одна четверка рядом сидящих детей вида (мдмд), (ммдд), (дмдм) или (ддмм). ("м" - мальчик, "д" - девочка). Разобьем всех детей на пары рядом сидящих. Получится 50 пар.
Пусть общее количество пар вида (мд) и (дм) равно k, тогда количество пар (мм) равно (50-k)/2. Количество пар (дд) также равно (50-k)/2 (что, кстати, означает, что k - четное). Рассмотрим все возможные случаи. 1) Если на круге вообще не оказалось пар (мм), и соответственно, пар (дд), то все пары должны быть вида (мд) или (дм), но, как легко видеть, любые 3 таких соседних пары содержат нужную четверку из условия. 2)На круге есть пары (мм), и обязательно столько же пар (дд). Тогда обязательно есть пара (мм) и пара (дд), между которыми, если и есть какие-то другие пары, то только разнополые вида (мд) или (дм). Тогда: а) Если между (мм) и (дд) вообще нет никаких пар, т.е. имеем четверку (ммдд) или (ддмм) и они удовлетворяют условию. б) Если между (мм) и (дд) только одна пара (мд) или (дм), то, получается шестерка (мммддд) или (ммдмдд). Очевидно, в такой шестерке есть нужная четверка из условия. в) Если между (мм) и (дд) находятся две разнополые пары, то, в случае, если это одинаковые пары (мд)(мд) или (дм)(дм), то они и дают нужную четверку. Если же разные - (мд)(дм) или (дм)(мд), то получается восьмерка (мммддмдд) или (ммдммддд), которая также содержит нужную четверку из условия. г) Если между (мм) и (дд) находится 3 или больше разнополых, то как и в пункте 1), в них обязательно есть нужная четверка.
2Sin3xCos2x - √2Sin3x = 0
Sin3x(Cos2x -√2) = 0
Sin3x = 0 или Cos2x -√2= 0
3x = πn , n∈Z Cos2x =√2
x = πn/3, n ∈Z нет решений.
2) Сos(70°+x)Cos(x -20°) = 1/2
Sin(20° -x)Cos(20° -x) = 1/2 |*2
2Sin(20° -x)Cos(20° -x) = 1
Sin(40° -2x) = 1
40° -2x = 90° + 360°*n, n ∈Z
2x = -50° -360°n, n∈Z
x = -25° -180°n, n ∈Z