Question

Объясните, , как решать такое : найдите все пары целых чисел (x; y), удовлетворяющих уравнению 7x+4y=123

Answer 1

Линейное диофантово уравнение  7х+4у=123.
Если коэффициенты перед х и у простые числа, то это уравнение имеет решение в целых числах. 
НОД(7,4)=1  ⇒  7 и 4 - простые числа.
Подберём частное решение  $(x_0,y_0)$  . В этом уравнении это сделать не совсем просто, поэтому воспользуемся теоремой:
чтобы найти решение уравнения  ах+ву=с при взаимно-простых а и в, нужно найти решение  $(x_0,y_0)$  уравнения  ах+ву=1.
Тогда числа  $(cx_0,cy_0)$  составляют решение
уравнения ах+ву=с .
 7х+4у=1   ⇒   $x_0=-1\; ,\; \; y_0=2$  .

$7\cdot (-1)+4\cdot 2=-7+8=1$

$cx_0=123\cdot (-1)=-123\; ,\; \; cy_0=2\cdot 123=246\; \; \to \\\\7x+4y=123\; \; (\star)\\\\7\cdot (-123)+4\cdot 246=123\; \; (\star \star )$

Из (*)  вычтем (**) , получим:

$7(x+123)+4(y-246)=0\; \; \to \; \; \; y-246= \frac{-7(x+123)}{4}$

Чтобы (у-246) было целым, надо чтобы (х+123) нацело делилось на 4, то есть  х+123=4к   ⇒  х=4к-123 , k∈Z .
Тогда  $y-246= \frac{-7\cdot 4k}{4} =-7k\; \; \Rightarrow \; \; y=-7k+246$

ответ:  $\left \{ {{x=4k-123} \atop {y=-7k+246}} \right.$, $k\in Z.$