Question

Доказать, что функция у=f(x) является периодической с периодом , если: 1) 2)

Answer 1

Докажем за определением периодической функции:
f(x) = f(x + T) = f(x − T)

(условие на область определения оно выполняется, так как синус и косинус определены на множестве всех действительных числе)

1) покажем, что выполняется $sin(x-\frac{\pi}{4})=sin(x-\frac{\pi}{4}+2\pi)=sin(x-\frac{\pi}{4}-2\pi)$
Это и будет означать за определением в случае синуса, что функция 
$sin(x-\frac{\pi}{4})$ периодична с периодом $2\pi$.

$sin(x-\frac{\pi}{4}+2\pi)=sin(x-\frac{\pi}{4})cos(2\pi)+cos(x-\frac{\pi}{4})sin(2\pi)=$
$=sin(x-\frac{\pi}{4})*1+cos(x-\frac{\pi}{4})*0=sin(x-\frac{\pi}{4})$

$sin(x-\frac{\pi}{4}-2\pi)=sin(x-\frac{\pi}{4})cos(2\pi)-cos(x-\frac{\pi}{4})sin(2\pi)=$
$=sin(x-\frac{\pi}{4})*1-cos(x-\frac{\pi}{4})*0=sin(x-\frac{\pi}{4})$

Доказано

2) $cos(x+\frac{2\pi}{3}+2\pi)=cos(x+\frac{2\pi}{3})cos(2\pi)-sin(x+\frac{2\pi}{3})sin(2\pi)=$
$=cos(x+\frac{2\pi}{3})*1-sin(x+\frac{2\pi}{3})*0=cos(x+\frac{2\pi}{3})$

$cos(x+\frac{2\pi}{3}-2\pi)=cos(x+\frac{2\pi}{3})cos(2\pi)+sin(x+\frac{2\pi}{3})sin(2\pi)=$
$=cos(x+\frac{2\pi}{3})*1+sin(x+\frac{2\pi}{3})*0=cos(x+\frac{2\pi}{3})$

Доказано