Так как равенство (1) верно при любых значениях a и b, то оно является тождеством. Это тождество называется формулой куба суммы. Если в эту формулу вместо a и b подставить какие-нибудь выражения, например 5y 3 и 2z , то опять получится тождество.
(5y 3+2z) 3 = 125y 9+150y 6z +60y 3z 2+8z 3 . (2)
Поэтому формула куба суммы читается так:
куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения и второго, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго, плюс куб второго выражения.
При любых значениях a и b верно равенство
(a−b) 3 = a 3−3a 2b+3ab 2−b 3 . (3)
Доказательство.
(a−b) 3 = (a−b)(a 2−2ab+b 2) =
= a 3−2a 2b+ab 2 − a 2b+2ab 2−b 3 =
= a 3−3a 2b+3ab 2−b 3
Так как равенство (3) верно при любых значениях a и b, то оно является тождеством. Это тождество называется формулой куба разности. Если в эту формулу вместо a и b подставить какие-нибудь выражения, например 5y 3 и 2z , то опять получится тождество.
(5y 3−2z) 3 = 125y 9−150y 6z +60y 3z 2−8z 3 . (4)
Поэтому формула куба разности читается так:
куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения и второго, плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго, минус куб второго выражения.
б) (3+2i)²-2i(1-3i)=[3²+2×3×2i+(2i)²]-(2i+6)=(9+12i-4)-2i-6=5+12i-2i-6=-1+10i
в) (3-5i)/(1+2i)=[(3-5i)(1-2i)]/[(1+2i)(1-2i)]=(3-6i-5i-10)/(1+4)=(-7-11i)/5=
-1.4-2.2i
г) (2-5i)/(5+2i)-(4+3i)/(3-4i)=
[(2-5i)(5-2i)]/[(5+2i)(5-2i)]-[(4+3i)(3+4i)]/[(3-4i)(3+4i)]=
(10-4i-25i-10)/(25+4)-(12+16i+9i-12)/(9+16)=-29i/29-25i/25=-i-i=-2i