Question

Докажите неравенство (a+b)(ab+9) > =12ab (a> 0, b> 0)

Answer 1

$(a+b)(ab+9) \geq 12ab$
докажем, что если $a\ \textgreater \ 0,and,b\ \textgreater \ 0$, то $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab }$
$(a+b)^2 \geq 4ab$
$a^2+2ab+b^2 \geq 4ab$
$a^2-2ab+b^2 \geq 0$
$(a-b)^2 \geq 0$

теперь воспользуемся:
в левой части нашего неравенство заменим $a+b$ на меньшее или такое же $2 \sqrt{ab}$:
$2 \sqrt{ab} (ab+9) \geq 12ab$
$ab+9 \geq 6 \sqrt{ab}$
$(\sqrt{ab})^2 -2* \sqrt{ab} *3+3^2 \geq 0$
$(\sqrt{ab} -3)^2 \geq 0$

Полученное неравенство справедливо, значит и справедливо и исходное, в рамках ограничений на a и b.