Question

Какими свойствами обладает сумма; произведение; частное рациональных чисел?

Answer 1

1.
Сумма.
Коммутативность:
$a+b=b+a$
Ассоциативность:
$a+(b+c)=(a+b)+c$
Дистрибутивность по отношению к умножению:
$(a+b)*c=ac+bc$
$c*(a+b)=ca+cb$
Сложение с нулем дает само число:
$x+0=x$

2. Произведение

Коммутативность: $\displaystyle a\cdot b=b\cdot a$
Ассоциативность: $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$
Дистрибутивность по отношению к сложению:
$x\cdot (a+b)=(x\cdot a)+(x\cdot b)$
Умножение на нуль, всегда дает нуль: $x\cdot 0=0$
Умножение на единицу дает само число:
$x\cdot 1=x$

3.
Деление:
Правую ассоциативность, т.е.:
$\frac {a+b}{c}}=(a+b)\div c={\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}$

Свойство деления дробей:
${p/q \over r/s}={p \over q}\cdot {s \over r}={ps \over qr}$

Так же, нельзя делить на ноль, так как, к примеру:
$\frac{1}{0} =x$
$1=0x \Rightarrow 1=0$ - при этом вместо единицы может быть любое число. Так же x  икс может быть любым числом, так как при умножении на нуль, всегда будет нуль.

Если же вместо числа 1 поставить 0, получим снова странное выражение:
$0/0=x \Rightarrow 0=0x \Rightarrow 0=0$ 
Но x может быть любым числом. К примеру:
$0/0=1000000^{10^{10}}$
Так как при умножении числа на ноль, всегда будет ноль.